A B. 4935. feladat (2018. február)

B. 4935. Adott az \(\displaystyle O\) csúcsú szög szárai közé írt két érintő kör, \(\displaystyle \omega_1\) és \(\displaystyle \omega_2\). Egy, az \(\displaystyle O\) pontból induló félegyenes az \(\displaystyle \omega_1\) kört az \(\displaystyle A_1\) és a \(\displaystyle B_1\), az \(\displaystyle \omega_2\) kört az \(\displaystyle A_2\) és a \(\displaystyle B_2\) pontban metszi úgy, hogy \(\displaystyle OA_1<OB_1<OA_2<OB_2\) (lásd az ábrát). A \(\displaystyle \gamma_1\) kör belülről érinti az \(\displaystyle \omega_1\) kört és érinti az \(\displaystyle \omega_2\) kör \(\displaystyle A_1\) ponton átmenő érintőit. A \(\displaystyle \gamma_2\) kör pedig belülről érinti az \(\displaystyle \omega_2\) kört és érinti az \(\displaystyle \omega_1\) kör \(\displaystyle B_2\) ponton átmenő érintőit. Bizonyítsuk be, hogy a \(\displaystyle \gamma_1\) és \(\displaystyle \gamma_2\) körök sugara egyenlő.

(Kvant)

(5 pont)

A beküldési határidő 2018. március 12-én LEJÁRT.

Megoldás. Tetszőleges \(\displaystyle c\) körre jelöljük \(\displaystyle r(c)\)-vel a \(\displaystyle c\) sugarát; azt kell igazolnunk, hogy \(\displaystyle r(\gamma_1)=r(\gamma_2)\). Jelöljük \(\displaystyle e\)-vel az \(\displaystyle OA_1A_2B_1B_2\) egyenest.

Az \(\displaystyle O\) pont a \(\displaystyle \omega_1\) és \(\displaystyle \omega_2\) körök közös külső érintőinek metszéspontja, tehát a két kör külső hasonlósági pontja; legyen \(\displaystyle \varphi_O\) az az \(\displaystyle O\) középpontú nagyítás, amelyre \(\displaystyle \varphi_O(\omega_1)=\omega_2\). Az \(\displaystyle e\) egyenes átmegy a nagyítás középpontján, ezért \(\displaystyle \varphi_0(e)=e\). Az \(\displaystyle A_1\) és az \(\displaystyle A_2\) pont az \(\displaystyle \omega_1\) kör és az \(\displaystyle e\) egyenes \(\displaystyle O\)-hoz közelebbi, illetve távolabbi metszéspontja, ezek képei az \(\displaystyle \omega_2\) kör és az \(\displaystyle e\) egyenes \(\displaystyle O\)-hoz közelebbi, illetve távolabbi metszéspontja: \(\displaystyle \varphi_0(A_1)=B_1\), illetve \(\displaystyle \varphi_0(A_2)=B_2\). A nagyítás aránya

\(\displaystyle \frac{r(\omega_2)}{r(\omega_1)}=\frac{B_1B_2}{A_1A_2}. \tag1 \)

Hasonlóan, a \(\displaystyle \gamma_1\) kört egy \(\displaystyle A_1\) középpontú \(\displaystyle \varphi_1\) nagyítás viszi át a \(\displaystyle \omega_2\) körbe úgy, hogy \(\displaystyle \varphi_1(A_2)=B_2\). Ennek a nagyításnak az aránya

\(\displaystyle \frac{r(\omega_2)}{r(\gamma_1)}=\frac{A_1B_2}{A_1A_2}. \tag2 \)

Végül, a \(\displaystyle \gamma_2\) kör is átvhető az \(\displaystyle \omega_1\) körbe egy \(\displaystyle B_2\) középpontú \(\displaystyle \varphi_2\) nagyítással úgy, hogy \(\displaystyle \varphi_2(B_1)=A_1\). Ennek a nagyításnak az aránya pedig

\(\displaystyle \frac{r(\omega_1)}{r(\gamma_2)}=\frac{A_1B_2}{B_1B_2}. \tag3 \)

Ha összeszorozzuk (1)-et, (3)-at és (2) reciprokát, azt kapjuk, hogy

\(\displaystyle \frac{r(\gamma_1)}{r(\gamma_2)} = \frac{r(\omega_2)}{r(\omega_1)} \cdot \frac{r(\omega_1)}{r(\gamma_2)} \cdot \frac{r(\gamma_1)}{r(\omega_2)} = \frac{B_1B_2}{A_1A_2} \cdot \frac{A_1B_2}{B_1B_2} \cdot \frac{A_1A_2}{A_1B_2} = 1, \)

vagyis valóban \(\displaystyle r(\gamma_1)=r(\gamma_2)\).

Statisztika:

34 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	Baski Bence, Beke Csongor, Busa 423 Máté, Csépányi István, Dobák Dániel, Döbröntei Dávid Bence, Fekete Richárd, Fuisz Gábor, Fülöp Anna Tácia, Gáspár Attila, Győrffi Ádám György, Győrffy Johanna, Hervay Bence, Jánosik Áron, Janzer Orsolya Lili, Kántor András Imre, Kerekes Anna, Nagy Nándor, Nguyen Bich Diep, Olosz Adél, Pituk Gábor, Póta Balázs, Schifferer András, Schrettner Jakab, Sebestyén Pál Botond, Soós 314 Máté, Szabó 417 Dávid, Szécsényi Nándor, Tiderenczl Dániel, Weisz Máté, Zsigri Bálint.
4 pontot kapott:	Hegedűs Dániel.
2 pontot kapott:	1 versenyző.
1 pontot kapott:	1 versenyző.

A KöMaL 2018. februári matematika feladatai