A B. 4939. feladat (2018. március)

B. 4939. Mutassuk meg, hogy egy konvex 2018-szöget nem lehet háromszögekre darabolni úgy, hogy minden keletkező háromszög szögei fokokban mérve egészek legyenek.

(3 pont)

A beküldési határidő 2018. április 10-én LEJÁRT.

Megoldás. Tegyük fel, hogy sikerült a kívánalmaknak megfelelően háromszögekre darabolni egy \(\displaystyle K\) konvex \(\displaystyle 2018\)-szöget. Így \(\displaystyle K\) tetszőleges belső szöge is fokokban mérve egész szám, hiszen megkapható a megfelelő csúcsra illeszkedő háromszögek megfelelő szögeinek összegeként. Ebből következően \(\displaystyle K\) minden külső szöge is fokokban mérve egész szám, vagyis legalább \(\displaystyle 1^\circ\). Így \(\displaystyle K\) külső szögeinek összege legalább \(\displaystyle 2018\cdot 1^\circ>360^\circ\), ami ellentmondás, így a kívánalmaknak megfelelő feldarabolás nem létezik.

Statisztika:

90 dolgozat érkezett.
3 pontot kapott:	75 versenyző.
2 pontot kapott:	10 versenyző.
1 pontot kapott:	4 versenyző.
0 pontot kapott:	1 versenyző.

A KöMaL 2018. márciusi matematika feladatai