Problem B. 4941. (March 2018)

B. 4941. The centre \(\displaystyle O\) of the circumscribed circle of an acute-angled triangle \(\displaystyle ABC\) is reflected in the feet of the altitudes. Prove that the circle formed by the three reflections has the same radius as the circumscribed circle of the triangle.

(4 pont)

Deadline expired on April 10, 2018.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Először belátjuk, hogy a háromszög magasságpontját tükrözve a háromszög egy oldalegyenesére, a tükörkép a háromszög köré írt körre esik. Használjuk az 1. ábra jelöléseit.

1. ábra

A \(\displaystyle BCT_B\) és \(\displaystyle BMT_A\) derékszögű háromszögekben \(\displaystyle γ=BCT_B∡=90°-ε=BMT_A∡\). A tükrözés miatt \(\displaystyle BMT_A∡=BM_A T_A∡=γ\). Hasonlóan belátható, hogy \(\displaystyle CM_A T_A∡=β\). Így \(\displaystyle CM_A B∡=β+ γ=180°-α\), és így az \(\displaystyle ABM_A C\) négyszög szemközti szögeinek összege \(\displaystyle 180°\), a négyszög húrnégyszög, vagyis az \(\displaystyle M_A\) pont rajta van a háromszög köré írt körön.

Mivel \(\displaystyle M_A\), \(\displaystyle M_B\) és \(\displaystyle M_C\) a magasságpont megfelelő talppontokra való tükörképei, ezért az \(\displaystyle M_A M_B M_C\) háromszög a \(\displaystyle T_A T_B T_C\) talpponti háromszög \(\displaystyle M\) pontra vonatkozó kétszeresen nagyított képe (2. ábra). Ezért a talpponti háromszög körülírt körének sugara az \(\displaystyle ABC\) háromszög köré írt kör sugarának a fele.

2. ábra

Ha az \(\displaystyle ABC\) háromszög körülírt körének középpontját tükrözzük a magasságok talppontjaira, akkor a keletkező háromszög nem más, mit a talpponti háromszög \(\displaystyle O\) középpontú kétszeresen nagyított képe (3. ábra). Így körülírt körének sugara is kétszerese a talpponti háromszög köré írt kör sugarának, vagyis megegyezik az ABC háromszög körülírt körének sugarával.

3. ábra

Statistics:

82 students sent a solution.
4 points:	78 students.
2 points:	2 students.
1 point:	2 students.

Problems in Mathematics of KöMaL, March 2018