A B. 4941. feladat (2018. március)

B. 4941. A hegyesszögű \(\displaystyle ABC\) háromszög körülírt körének \(\displaystyle O\) középpontját tükrözzük a magasságok talppontjaira. Igazoljuk, hogy e három pont által meghatározott kör ugyanakkora sugarú, mint az \(\displaystyle ABC\) háromszög körülírt köre.

(4 pont)

A beküldési határidő 2018. április 10-én LEJÁRT.

Megoldás. Először belátjuk, hogy a háromszög magasságpontját tükrözve a háromszög egy oldalegyenesére, a tükörkép a háromszög köré írt körre esik. Használjuk az 1. ábra jelöléseit.

1. ábra

A \(\displaystyle BCT_B\) és \(\displaystyle BMT_A\) derékszögű háromszögekben \(\displaystyle γ=BCT_B∡=90°-ε=BMT_A∡\). A tükrözés miatt \(\displaystyle BMT_A∡=BM_A T_A∡=γ\). Hasonlóan belátható, hogy \(\displaystyle CM_A T_A∡=β\). Így \(\displaystyle CM_A B∡=β+ γ=180°-α\), és így az \(\displaystyle ABM_A C\) négyszög szemközti szögeinek összege \(\displaystyle 180°\), a négyszög húrnégyszög, vagyis az \(\displaystyle M_A\) pont rajta van a háromszög köré írt körön.

Mivel \(\displaystyle M_A\), \(\displaystyle M_B\) és \(\displaystyle M_C\) a magasságpont megfelelő talppontokra való tükörképei, ezért az \(\displaystyle M_A M_B M_C\) háromszög a \(\displaystyle T_A T_B T_C\) talpponti háromszög \(\displaystyle M\) pontra vonatkozó kétszeresen nagyított képe (2. ábra). Ezért a talpponti háromszög körülírt körének sugara az \(\displaystyle ABC\) háromszög köré írt kör sugarának a fele.

2. ábra

Ha az \(\displaystyle ABC\) háromszög körülírt körének középpontját tükrözzük a magasságok talppontjaira, akkor a keletkező háromszög nem más, mit a talpponti háromszög \(\displaystyle O\) középpontú kétszeresen nagyított képe (3. ábra). Így körülírt körének sugara is kétszerese a talpponti háromszög köré írt kör sugarának, vagyis megegyezik az ABC háromszög körülírt körének sugarával.

3. ábra

Statisztika:

82 dolgozat érkezett.
4 pontot kapott:	78 versenyző.
2 pontot kapott:	2 versenyző.
1 pontot kapott:	2 versenyző.

A KöMaL 2018. márciusi matematika feladatai