A B. 4947. feladat (2018. március)

B. 4947. Igazoljuk, hogy egy kockát a keletkező darabok egybevágóságától eltekintve egyféleképpen lehet pontosan öt darab tetraéderre darabolni.

(6 pont)

A beküldési határidő 2018. április 10-én LEJÁRT.

Megoldásvázlat. A kocka élhossza legyen \(\displaystyle 1\). Az öt tetraédernek összesen \(\displaystyle 20\) háromszöglapja van. A tetraéderek lapsíkjai közül hat egybeesik a kocka lapsíkjaival, a többit nevezzük belső lapsíknak. Mivel a kocka lapjai négyzetek, a tetraédereké pedig háromszögek, így a kocka minden lapjára legalább két tetraéderhez tartozó háromszöglap illeszkedik, vagyis összesen legalább \(\displaystyle 12\) háromszöglap a \(\displaystyle 20\)-ból. Mivel minden belső lapsíkra legalább két háromszöglap illeszkedik, így legfeljebb \(\displaystyle 4\) belső lapsík lehet.

Ha legfeljebb három belső lapsík van, akkor minden tetraédernek van olyan lapja, amely illeszkedik a kocka egyik lapjára. Egy ilyen lap területe legfeljebb \(\displaystyle 1/2\) (*), a megfelelő tetraéder hozzá tartozó magassága pedig triviálisan legfeljebb \(\displaystyle 1\), így minden tetraéder térfogata legfeljebb \(\displaystyle 1/6\), ez nem lehet. Így pontosan \(\displaystyle 4\) belső lapsík van, és szükségképpen van egy "belső" tetraéder, amit pont ez a négy sík határol (különben továbbra is minden tetraédernek lenne közös lapsíkja a kockával, és az előző érvelésünk továbbra is érvényes lenne). Következésképp a négy belső lapsík mindegyike háromszögben metszi a kockát, és a további négy tetraéder mindegyikének pontosan egy közös lapja van a belső tetraéderrel.

Mivel a metszet háromszög, így minden belső lapsík pontosan három lapját metszi a kockának, amelyek szükségképpen egy közös csúcsban találkoznak. Illetve kaptuk, hogy a belső lapsíkokra \(\displaystyle 8\), a kocka határára pedig pontosan \(\displaystyle 12\) háromszöglap illeszkedik, így mind a hat négyzetlapot egy-egy átlóval kell kettévágjuk. Ezekből következik, hogy az egyetlen lehetséges felbontás az, amit az ábrán láthatunk (a kép forrása).

*Az állítás indoklásra szorul, de meglehetősen jól ismert, lásd például itt.

Statisztika:

29 dolgozat érkezett.
6 pontot kapott:	Beke Csongor, Dobák Dániel, Fitos Bence, Füredi Erik Benjámin, Gáspár Attila, Hegedűs Dániel, Kerekes Anna, Nagy Nándor, Schrettner Jakab, Shuborno Das, Szabó 417 Dávid, Weisz Máté, Zsigri Bálint.
5 pontot kapott:	Bursics András, Csaplár Viktor, Mikulás Zsófia, Nguyen Bich Diep, Soós 314 Máté, Tran 444 Ádám, Zólomy Kristóf.
4 pontot kapott:	4 versenyző.
3 pontot kapott:	1 versenyző.
2 pontot kapott:	3 versenyző.
1 pontot kapott:	1 versenyző.

A KöMaL 2018. márciusi matematika feladatai