A B. 4949. feladat (2018. április)

B. 4949. Az \(\displaystyle ABC\) hegyesszögű háromszög \(\displaystyle B\)-ből, illetve \(\displaystyle C\)-ből induló magasságának talppontja \(\displaystyle D\), illetve \(\displaystyle E\). Legyen \(\displaystyle P\) az \(\displaystyle AD\), \(\displaystyle Q\) pedig az \(\displaystyle AE\) szakasz olyan belső pontja, amelyre \(\displaystyle EDPQ\) húrnégyszög. Mutassuk meg, hogy a \(\displaystyle BP\) és \(\displaystyle CQ\) szakaszok az \(\displaystyle A\)-ból induló súlyvonalon metszik egymást.

(3 pont)

A beküldési határidő 2018. május 10-én LEJÁRT.

Megoldás: Először megmutatjuk, hogy a \(\displaystyle PQBC\) négyszög trapéz. A háromszög szögeit jelöljük a szokásos módon.

A \(\displaystyle D\) és \(\displaystyle E\) pontok magasságok talppontjai, ezért ezekből a pontokból a \(\displaystyle BC\) oldal derékszögben látszik, azaz a \(\displaystyle BCDE\) négyszög húrnégyszög. Legyen \(\displaystyle EBC\angle=\beta\). A húrnégyszögek tétele alapján emiatt \(\displaystyle CDE\angle=180^{\circ}-\beta\). A \(\displaystyle CDE\angle\) mellékszöge \(\displaystyle EDP\angle=\beta\). Most használjuk fel, hogy \(\displaystyle DPQE\) is húrnégyszög, így az \(\displaystyle EDP\) szöggel szemközti szög, \(\displaystyle EQP\angle=180^{\circ}-\beta\). Ebből pedig már következik, hogy \(\displaystyle PQA\angle= \beta=CBA\angle\), vagyis a \(\displaystyle BC\) és \(\displaystyle QP\) szakaszok párhuzamosak, tehát a \(\displaystyle PQBC\) négyszög valóban trapéz.

Ismert, hogy amennyiben a trapéz szárai metszik egymást, akkor a szárak metszéspontja, az alapok felezőpontjai és az átlók metszéspontja egy egyenesen vannak. Ez igazolja az állítást.

Statisztika:

69 dolgozat érkezett.
3 pontot kapott:	66 versenyző.
2 pontot kapott:	2 versenyző.
1 pontot kapott:	1 versenyző.

A KöMaL 2018. áprilisi matematika feladatai