A B. 4949. feladat (2018. április)

B. 4949. Az $\displaystyle ABC$ hegyesszögű háromszög $\displaystyle B$-ből, illetve $\displaystyle C$-ből induló magasságának talppontja $\displaystyle D$, illetve $\displaystyle E$. Legyen $\displaystyle P$ az $\displaystyle AD$, $\displaystyle Q$ pedig az $\displaystyle AE$ szakasz olyan belső pontja, amelyre $\displaystyle EDPQ$ húrnégyszög. Mutassuk meg, hogy a $\displaystyle BP$ és $\displaystyle CQ$ szakaszok az $\displaystyle A$-ból induló súlyvonalon metszik egymást.

(3 pont)

A beküldési határidő 2018. május 10-én LEJÁRT.

Megoldás: Először megmutatjuk, hogy a $\displaystyle PQBC$ négyszög trapéz. A háromszög szögeit jelöljük a szokásos módon.

A $\displaystyle D$ és $\displaystyle E$ pontok magasságok talppontjai, ezért ezekből a pontokból a $\displaystyle BC$ oldal derékszögben látszik, azaz a $\displaystyle BCDE$ négyszög húrnégyszög. Legyen $\displaystyle EBC\angle=\beta$. A húrnégyszögek tétele alapján emiatt $\displaystyle CDE\angle=180^{\circ}-\beta$. A $\displaystyle CDE\angle$ mellékszöge $\displaystyle EDP\angle=\beta$. Most használjuk fel, hogy $\displaystyle DPQE$ is húrnégyszög, így az $\displaystyle EDP$ szöggel szemközti szög, $\displaystyle EQP\angle=180^{\circ}-\beta$. Ebből pedig már következik, hogy $\displaystyle PQA\angle= \beta=CBA\angle$, vagyis a $\displaystyle BC$ és $\displaystyle QP$ szakaszok párhuzamosak, tehát a $\displaystyle PQBC$ négyszög valóban trapéz.

Ismert, hogy amennyiben a trapéz szárai metszik egymást, akkor a szárak metszéspontja, az alapok felezőpontjai és az átlók metszéspontja egy egyenesen vannak. Ez igazolja az állítást.

Statisztika:

69 dolgozat érkezett.
3 pontot kapott:	66 versenyző.
2 pontot kapott:	2 versenyző.
1 pontot kapott:	1 versenyző.

A KöMaL 2018. áprilisi matematika feladatai