A B. 4952. feladat (2018. április)

B. 4952. Át lehet-e darabolni véges sok egyenes vágással egy kockát két kisebb egybevágó kockába?

Javasolta: Gyenes Zoltán (Budapest)

(5 pont)

A beküldési határidő 2018. május 10-én LEJÁRT.

Megoldás. Ha egy egyenes hasáb $\displaystyle A$ alaplapját véges sok egyenes vágással feldaraboljuk, akkor ezen egyenesekre illeszkedő, $\displaystyle A$-ra merőleges síkokkal a hasáb feldarabolását kapjuk. Megmutatjuk, hogy a feladat már ilyen speciális vágásokkal is megoldható. Mindez azon múlik, hogy bármely két egyenlő területű téglalap egymásba átdarabolható. Ha ugyanis az egyik téglalap szomszédos oldalai $\displaystyle a$ és $\displaystyle b$, a másiké pedig $\displaystyle a''$ és $\displaystyle b''$, ahol $\displaystyle a \leqslant a'' \leqslant b'' \leqslant b$, akkor az ábrán látható módon az $\displaystyle a\,,\, b$ oldalú $\displaystyle ABCD$ téglalapot először az $\displaystyle A'D=a''$ oldalú, $\displaystyle b''$ magasságú $\displaystyle A'B'CD$ paralelogrammába, majd azt a vele megegyező területű, $\displaystyle B''C''=B'C=a''$ oldalú $\displaystyle A''B''C''D''$ téglalapba darabolhatjuk át.

A fentiek szerint egy $\displaystyle 2 \times 2\times 2$-es kockát valamelyik $\displaystyle 2\times 2$-es lapjára merőleges vágásokkal $\displaystyle \root {3}\of {4}\times 2\root {3}\of {2}\times 2$-es, majd azt egyik $\displaystyle 2\root {3}\of {2}\times 2$-es lapjára merőleges vágásokkal $\displaystyle \root {3}\of {4}\times \root {3}\of {4}\times 2\root {3}\of {4}$-es téglatestté szabhatjuk át, amit végül a $\displaystyle 2\root {3}\of {4}$ hosszúságú éleinek közös felezősíkjával két $\displaystyle \root {3}\of {4}\times \root {3}\of {4}\times \root {3}\of {4}$-es kockára vághatunk.

Statisztika:

21 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	Dobák Dániel, Döbröntei Dávid Bence, Gáspár Attila, Janzer Orsolya Lili, Nagy Nándor, Pituk Gábor.
4 pontot kapott:	Kerekes Anna, Schrettner Jakab, Sebestyén Pál Botond.
1 pontot kapott:	1 versenyző.
0 pontot kapott:	11 versenyző.

A KöMaL 2018. áprilisi matematika feladatai