 |
A B. 4952. feladat (2018. április) |
B. 4952. Át lehet-e darabolni véges sok egyenes vágással egy kockát két kisebb egybevágó kockába?
Javasolta: Gyenes Zoltán (Budapest)
(5 pont)
A beküldési határidő 2018. május 10-én LEJÁRT.
Megoldás. Ha egy egyenes hasáb \(\displaystyle A\) alaplapját véges sok egyenes vágással feldaraboljuk, akkor ezen egyenesekre illeszkedő, \(\displaystyle A\)-ra merőleges síkokkal a hasáb feldarabolását kapjuk. Megmutatjuk, hogy a feladat már ilyen speciális vágásokkal is megoldható. Mindez azon múlik, hogy bármely két egyenlő területű téglalap egymásba átdarabolható. Ha ugyanis az egyik téglalap szomszédos oldalai \(\displaystyle a\) és \(\displaystyle b\), a másiké pedig \(\displaystyle a''\) és \(\displaystyle b''\), ahol \(\displaystyle a \leqslant a'' \leqslant b'' \leqslant b\), akkor az ábrán látható módon az \(\displaystyle a\,,\, b\) oldalú \(\displaystyle ABCD\) téglalapot először az \(\displaystyle A'D=a''\) oldalú, \(\displaystyle b''\) magasságú \(\displaystyle A'B'CD\) paralelogrammába, majd azt a vele megegyező területű, \(\displaystyle B''C''=B'C=a''\) oldalú \(\displaystyle A''B''C''D''\) téglalapba darabolhatjuk át.
A fentiek szerint egy \(\displaystyle 2 \times 2\times 2\)-es kockát valamelyik \(\displaystyle 2\times 2\)-es lapjára merőleges vágásokkal \(\displaystyle \root {3}\of {4}\times 2\root {3}\of {2}\times 2\)-es, majd azt egyik \(\displaystyle 2\root {3}\of {2}\times 2\)-es lapjára merőleges vágásokkal \(\displaystyle \root {3}\of {4}\times \root {3}\of {4}\times 2\root {3}\of {4}\)-es téglatestté szabhatjuk át, amit végül a \(\displaystyle 2\root {3}\of {4}\) hosszúságú éleinek közös felezősíkjával két \(\displaystyle \root {3}\of {4}\times \root {3}\of {4}\times \root {3}\of {4}\)-es kockára vághatunk.
Statisztika:
21 dolgozat érkezett. 5 pontot kapott: Dobák Dániel, Döbröntei Dávid Bence, Gáspár Attila, Janzer Orsolya Lili, Nagy Nándor, Pituk Gábor. 4 pontot kapott: Kerekes Anna, Schrettner Jakab, Sebestyén Pál Botond. 1 pontot kapott: 1 versenyző. 0 pontot kapott: 11 versenyző.
A KöMaL 2018. áprilisi matematika feladatai