A B. 4971. feladat (2018. szeptember)

B. 4971. Milyen \(\displaystyle p\) prímszámokhoz létezik olyan \(\displaystyle a\) pozitív egész, amelyre

\(\displaystyle 1+a+a^2+\ldots+a^{p-1} \)

osztható \(\displaystyle p^2\)-tel?

(5 pont)

A beküldési határidő 2018. október 10-én LEJÁRT.

Megoldás. A vizsgált kifejezés a mértani sorozat összegképlete szerint \(\displaystyle \frac{a^p-1}{a-1}\), a kérdés tehát az, mely \(\displaystyle p\) prímszámokhoz létezik olyan \(\displaystyle a\) pozitív egész, hogy az \(\displaystyle a^p-1\) számot a \(\displaystyle p\) legalább 2-vel magasabb hatványon osztja, mint \(\displaystyle (a-1)\)-et.

Legyen \(\displaystyle a-1=p^\alpha a'\), ahol \(\displaystyle p\nmid a'\). Ha \(\displaystyle \alpha=0\), akkor \(\displaystyle p\nmid a-1\), azonban a kis Fermat-tétel szerint \(\displaystyle a^p-1\equiv a-1 \pmod {p}\), így ebben az esetben \(\displaystyle a^p-1\) sem osztható \(\displaystyle p\)-vel, vagyis ilyenkor nincs megfelelő \(\displaystyle a\). Tehát \(\displaystyle \alpha\geq 1\).

A binomiális tétel szerint

\(\displaystyle a^p-1=(p^\alpha a'+1)^p-1=(p^\alpha a')^p+\dots +\binom{p}{3}(p^\alpha a')^3+\binom{p}{2}(p^\alpha a')^2+\binom{p}{1}(p^\alpha a').\)

Ha \(\displaystyle p>2\), akkor itt az utolsó tagot leszámítva mindegyik tag \(\displaystyle p\)-nek legalább a \(\displaystyle (2\alpha+1)\)-edik hatványával osztható, az utolsó viszont csak az \(\displaystyle (\alpha+1)\)-edikennel. Mivel \(\displaystyle \alpha\geq 1\), ezért \(\displaystyle \alpha+1<2\alpha+1\), így \(\displaystyle a^p-1\) prímtényezős felbontásában \(\displaystyle p\) kitevője \(\displaystyle \alpha+1\). Tehát az \(\displaystyle \frac{a^p-1}{a-1}\) szám \(\displaystyle p\)-nek csak az első hatványával osztható, amennyiben \(\displaystyle p>2\).

Ha \(\displaystyle p=2\), akkor az előző gondolatmenet nem érvényes (hiszen \(\displaystyle p\nmid \binom{p}{2}\)), és például \(\displaystyle a=3\) esetén valóban elő is fordul, hogy \(\displaystyle 1+a\) osztható \(\displaystyle 2^2\)-nel.

Tehát pontosan akkor létezik megfelelő \(\displaystyle a\) pozitív egész, ha \(\displaystyle p=2\).

Statisztika:

91 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	Argay Zsolt, Asztalos Ádám, Baski Bence, Beke Csongor, Bencsik Ádám, Biczó Benedek, Bokor Endre, Csertán András, Csiszár Zoltán, Dobák Dániel, Fajszi Bulcsú, Fitos Bence, Fleiner Zsigmond, Fraknói Ádám, Füredi Erik Benjámin, Gyetvai Miklós, Győrffi Ádám György, Győrffy Ágoston, Hámori Janka, Hegedűs Dániel, Jánosik Áron, Jánosik Máté, Jedlovszky Pál, Kántor András Imre, Kitschner Bernadett, Markó Gábor, Mátravölgyi Bence, Molnár Bálint, Nagy Nándor, Nguyen Bich Diep, Noszály Áron, Péter Kristóf, Rareș Polenciuc, Reimann Kristóf, Seres-Szabó Márton, Soós 314 Máté, Szabó 417 Dávid, Szűcs 064 Tamás, Telek Zsigmond , Terjék András József, Tiderenczl Dániel, Tóth 827 Balázs, Tubak Dániel, Várkonyi Zsombor, Velich Nóra, Weisz Máté, Zsigri Bálint.
4 pontot kapott:	18 versenyző.
3 pontot kapott:	3 versenyző.
2 pontot kapott:	4 versenyző.
1 pontot kapott:	13 versenyző.
0 pontot kapott:	3 versenyző.
Nem számítjuk a versenybe a születési dátum vagy a szülői nyilatkozat hiánya miatt:	3 dolgozat.

A KöMaL 2018. szeptemberi matematika feladatai