 |
A B. 4976. feladat (2018. október) |
B. 4976. Legyen \(\displaystyle A=\{-4;-3;-2;-1;0;1;2;3;4\}\). Kezdő és Második felváltva választanak ki egy-egy, még nem választott számot az \(\displaystyle A\) halmaz elemei közül. Az a játékos nyer, akinek előbb lesz három olyan, általa választott száma, melyek összege 0. Van-e valamelyik játékosnak nyerő stratégiája?
Javasolta: Bán-Szabó Áron (Budapest)
(4 pont)
A beküldési határidő 2018. november 12-én LEJÁRT.
Megoldás. Először megvizsgáljuk, melyek a három tagú, 0-t adó összegek. Ha szerepel a tagok között a 0, akkor a hármas \(\displaystyle \{0,a,-a\}\) alakú, ahol \(\displaystyle a\in \{1,2,3,4\}\). Ha a számok között nem szerepel a 0, akkor közülük kettőnek, mondjuk \(\displaystyle a\)-nak és \(\displaystyle b\)-nek egyezik az előjele, a harmadik számnak, \(\displaystyle c\)-nek az előjele pedig ettől különböző, továbbá \(\displaystyle |a|+|b|=|c|\). Mivel \(\displaystyle |a|\) és \(\displaystyle |b|\) két olyan különböző eleme az \(\displaystyle \{1,2,3,4\}\) halmaznak, melyek összege legfeljebb 4, ezért vagy \(\displaystyle \{|a|,|b|\}=\{1,2\}\), vagy \(\displaystyle \{|a|,|b|\}=\{1,3\}\). Az így kapott hármasok:
\(\displaystyle \{1,2,-3\},\{-1,-2,3\},\{1,3,-4\},\{-1,-3,4\}.\)
Tehát összesen \(\displaystyle 4+4=8\) megfelelő számhármas van. Ha \(\displaystyle A\) elemeit az alábbi módon írjuk egy \(\displaystyle 3\times 3\)-as táblázatba, akkor a 0-t adó három tagú összegeket adó hármasok éppen a 3 sor, a 3 oszlop és a 2 átló.
| 1 | -4 | 3 |
| 2 | 0 | -2 |
| -3 | 4 | -1 |
Tehát Kezdő és Második a tic-tac-toe játékkal ekvivalens játékot játszanak. A tic-tac-toe esetében pedig mindkét játékosnak van olyan stratégiája, amivel garantálni tudja, hogy ne veszítsen. Ennek igazolása esetszétválasztással történhet, egy leírás például itt olvasható.
Tehát egyik játékosnak sincs nyerő stratégiája.
Statisztika:
A KöMaL 2018. októberi matematika feladatai