 |
A B. 4976. feladat (2018. október) |
B. 4976. Legyen A={−4;−3;−2;−1;0;1;2;3;4}. Kezdő és Második felváltva választanak ki egy-egy, még nem választott számot az A halmaz elemei közül. Az a játékos nyer, akinek előbb lesz három olyan, általa választott száma, melyek összege 0. Van-e valamelyik játékosnak nyerő stratégiája?
Javasolta: Bán-Szabó Áron (Budapest)
(4 pont)
A beküldési határidő 2018. november 12-én LEJÁRT.
Megoldás. Először megvizsgáljuk, melyek a három tagú, 0-t adó összegek. Ha szerepel a tagok között a 0, akkor a hármas {0,a,−a} alakú, ahol a∈{1,2,3,4}. Ha a számok között nem szerepel a 0, akkor közülük kettőnek, mondjuk a-nak és b-nek egyezik az előjele, a harmadik számnak, c-nek az előjele pedig ettől különböző, továbbá |a|+|b|=|c|. Mivel |a| és |b| két olyan különböző eleme az {1,2,3,4} halmaznak, melyek összege legfeljebb 4, ezért vagy {|a|,|b|}={1,2}, vagy {|a|,|b|}={1,3}. Az így kapott hármasok:
{1,2,−3},{−1,−2,3},{1,3,−4},{−1,−3,4}.
Tehát összesen 4+4=8 megfelelő számhármas van. Ha A elemeit az alábbi módon írjuk egy 3×3-as táblázatba, akkor a 0-t adó három tagú összegeket adó hármasok éppen a 3 sor, a 3 oszlop és a 2 átló.
| 1 | -4 | 3 |
| 2 | 0 | -2 |
| -3 | 4 | -1 |
Tehát Kezdő és Második a tic-tac-toe játékkal ekvivalens játékot játszanak. A tic-tac-toe esetében pedig mindkét játékosnak van olyan stratégiája, amivel garantálni tudja, hogy ne veszítsen. Ennek igazolása esetszétválasztással történhet, egy leírás például itt olvasható.
Tehát egyik játékosnak sincs nyerő stratégiája.
Statisztika:
A KöMaL 2018. októberi matematika feladatai
|
|