A B. 4984. feladat (2018. november)

B. 4984. Mutassuk meg, hogy minden pozitív egész \(\displaystyle x\) számhoz található olyan pozitív egész \(\displaystyle y\), amelyre \(\displaystyle x^3+y^3+1\) osztható az \(\displaystyle x+y+1\) számmal. Van-e olyan pozitív egész \(\displaystyle x\), amelyhez végtelen sok ilyen tulajdonságú \(\displaystyle y\) létezik?

Javasolta: Surányi László (Budapest)

(4 pont)

A beküldési határidő 2018. december 10-én LEJÁRT.

1. megoldás. Az \(\displaystyle a^3+b^3+c^3-3abc=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)\) azonosság alapján \(\displaystyle x+y+1\) mindig osztja \(\displaystyle x^3+y^3+1-3xy\)-t, így \(\displaystyle x^3 + y^3 +1\)-nek pontosan akkor osztója, ha \(\displaystyle x+y+1\mid 3xy\). Olyan \(\displaystyle y\)-t kell tehát keresnünk, melyhez létezik olyan \(\displaystyle k\) egész szám, melyre

\(\displaystyle k(x+y+1)=3xy.\)

Az egyenletet átrendezve:

\(\displaystyle (x+1)k=(3x-k)y.\)

Legyen \(\displaystyle l:=3x-k\), ekkor \(\displaystyle k\) pontosan akkor egész, ha \(\displaystyle l\) is egész. Az egyenletben \(\displaystyle k=3x-l\)-t helyettesítve:

\(\displaystyle (x+1)(3x-l)=ly,\)

azaz

\(\displaystyle 3x(x+1)-l(x+1)=ly.\)

Olyan \(\displaystyle l\) egész számot keresünk tehát, amelyre ennek az egyenletnek van pozitív egész \(\displaystyle y\) megoldása. Mivel \(\displaystyle x>0\), ezért \(\displaystyle 3x(x+1)\ne 0\), és így \(\displaystyle l=0\) nem megfelelő, ezért az egyenlet egyetlen megoldása \(\displaystyle y\)-ra:

\(\displaystyle y=\frac{3x(x+1)}{l}-(x+1),\)

ami pontosan akkor egész, ha \(\displaystyle l\mid 3x(x+1)\). Mivel a \(\displaystyle 3x(x+1)\) szám 0-tól különböző, ezért csak véges sok osztója van, vagyis \(\displaystyle l\) megválasztására, és így \(\displaystyle y\)-ra is csak véges sok lehetőségünk van, amivel a feladat második kérdését meg is válaszoltuk. Ha \(\displaystyle l\mid 3x(x+1)\), akkor biztosan egész \(\displaystyle y\) értéket kapunk, azt kell igazolnunk még, hogy mindig létezik megfelelő pozitív egész \(\displaystyle y\) is. Ehhez \(\displaystyle l\)-et úgy választjuk meg, hogy \(\displaystyle y\) a lehető legnagyobb legyen. Legyen tehát \(\displaystyle l=1\), ekkor \(\displaystyle y=3x(x+1)-(x+1)=3x^2+2x-1\) valóban pozitív egész szám (amennyiben \(\displaystyle x\) pozitív egész szám).

Ezzel igazoltuk, hogy egyetlen pozitív egész \(\displaystyle x\)-hez sincs végtelen sok megfelelő \(\displaystyle y\), viszont legalább egy megfelelő mindig létezik, például \(\displaystyle y=3x^2+2x-1\).

Megjegyzés. A fenti gondolatmenetből következett, hogy \(\displaystyle y=3x^2+2x-1\) megfelelő, így ellenőrzésre a feladat megoldásához már nincs szükség, de a biztonság kedvéért az \(\displaystyle x+y+1\mid 3xy\) oszthatóságot erre a választásra ellenőrizve:

\(\displaystyle 3x^2+3x\mid 3x(3x^2+2x-1) \)

valóban teljesül, hiszen \(\displaystyle 3x^2+3x=3x(x+1)\), továbbá \(\displaystyle 3x(3x^2+2x-1)=3x(x+1)(3x-1)\).

2. megoldás. Először az \(\displaystyle x^3+y^3+1\) kifejezésből elimináljuk \(\displaystyle y\)-t. Mivel \(\displaystyle y\equiv(-x-1)\pmod{x+y+1}\),

\(\displaystyle x^3+y^3+1 \equiv x^3+(-x-1)^3+1 = -3x(x+1) \pmod{x+y+1}, \)

vagyis

\(\displaystyle x+y+1\Big\vert x^3+y^3+1 \quad\Longleftrightarrow\quad 0\equiv-3x(x+1) \pmod{x+y+1} \quad\Longleftrightarrow\quad x+y+1\Big\vert 3x(x+1). \)

A \(\displaystyle 3x(x+1)\) pozitív egész számnak csak véges sok osztója van, ezért egy \(\displaystyle x\)-hez legfeljebb csak véges sok jó \(\displaystyle y\) létezhet.

Minden olyan osztó, amely \(\displaystyle x+1\)-nél nagyobb, biztosít egy megfelelő \(\displaystyle y\)-t. Például a \(\displaystyle 3x(x+1)\) szám osztója önmagának; ezért az \(\displaystyle y=3x(x+1)-x-1 = (3x-1)(x+1)\) pozitív egész jó.

Statisztika:

95 dolgozat érkezett.
4 pontot kapott:	61 versenyző.
3 pontot kapott:	26 versenyző.
2 pontot kapott:	2 versenyző.
1 pontot kapott:	2 versenyző.
0 pontot kapott:	4 versenyző.

A KöMaL 2018. novemberi matematika feladatai