A B. 4990. feladat (2018. december)

B. 4990. Legyen \(\displaystyle n\) egynél nagyobb természetes szám. Jelölje \(\displaystyle n\) pozitív osztóinak számát \(\displaystyle d(n)\), összegét pedig \(\displaystyle \sigma(n)\). Mutassuk meg, hogy

\(\displaystyle \sigma(n) > d(n)\sqrt n\,. \)

Javasolta: Sárosdi Zsombor (Veresegyház)

(3 pont)

A beküldési határidő 2019. január 10-én LEJÁRT.

Megoldás. Legyenek az \(\displaystyle n\) szám (pozitív) osztói nagyságsorrendben \(\displaystyle 1=a_1<a_2<\dots<a_k=n\), ahol \(\displaystyle k=d(n)>1\). Ekkor minden \(\displaystyle 1\leq i\leq k\) esetén \(\displaystyle a_i\) osztópárja éppen \(\displaystyle a_{k+1-i}\), és ezért \(\displaystyle (a_1a_2\dots a_k)^2=(a_1a_k)(a_2a_{k-1})\dots (a_ka_1)=n^k\). Tehát az \(\displaystyle a_1,a_2,\dots,a_k\) pozitív számok mértani közepe \(\displaystyle \sqrt[k]{a_1a_2\dots a_k}=\sqrt{n}\). Mivel a számtani közepük éppen \(\displaystyle \sigma(n)/k\), ezért a számtani és mértani közepek közötti egyenlőtlenség alapján:

\(\displaystyle \frac{\sigma(n)}{k}\geq \sqrt{n},\)

ahol egyenlőség pontosan akkor teljesülne, ha \(\displaystyle a_1,\dots,a_k\) egyenlők lennének. Mivel \(\displaystyle n>1\), ezért például \(\displaystyle 1=a_1\ne a_k=n\), vagyis nem áll fenn egyenlőség. Így viszont \(\displaystyle k=d(n)\)-nel beszorzás után az igazolandó \(\displaystyle \sigma(n)>d(n)\sqrt{n}\) egyenlőtlenséget kapjuk.

Statisztika:

105 dolgozat érkezett.
3 pontot kapott:	67 versenyző.
2 pontot kapott:	21 versenyző.
1 pontot kapott:	15 versenyző.
0 pontot kapott:	2 versenyző.

A KöMaL 2018. decemberi matematika feladatai