A B. 4990. feladat (2018. december)

B. 4990. Legyen $\displaystyle n$ egynél nagyobb természetes szám. Jelölje $\displaystyle n$ pozitív osztóinak számát $\displaystyle d(n)$, összegét pedig $\displaystyle \sigma(n)$. Mutassuk meg, hogy

$\displaystyle \sigma(n) > d(n)\sqrt n\,.$

Javasolta: Sárosdi Zsombor (Veresegyház)

(3 pont)

A beküldési határidő 2019. január 10-én LEJÁRT.

Megoldás. Legyenek az $\displaystyle n$ szám (pozitív) osztói nagyságsorrendben $\displaystyle 1=a_1<a_2<\dots<a_k=n$, ahol $\displaystyle k=d(n)>1$. Ekkor minden $\displaystyle 1\leq i\leq k$ esetén $\displaystyle a_i$ osztópárja éppen $\displaystyle a_{k+1-i}$, és ezért $\displaystyle (a_1a_2\dots a_k)^2=(a_1a_k)(a_2a_{k-1})\dots (a_ka_1)=n^k$. Tehát az $\displaystyle a_1,a_2,\dots,a_k$ pozitív számok mértani közepe $\displaystyle \sqrt[k]{a_1a_2\dots a_k}=\sqrt{n}$. Mivel a számtani közepük éppen $\displaystyle \sigma(n)/k$, ezért a számtani és mértani közepek közötti egyenlőtlenség alapján:

$\displaystyle \frac{\sigma(n)}{k}\geq \sqrt{n},$

ahol egyenlőség pontosan akkor teljesülne, ha $\displaystyle a_1,\dots,a_k$ egyenlők lennének. Mivel $\displaystyle n>1$, ezért például $\displaystyle 1=a_1\ne a_k=n$, vagyis nem áll fenn egyenlőség. Így viszont $\displaystyle k=d(n)$-nel beszorzás után az igazolandó $\displaystyle \sigma(n)>d(n)\sqrt{n}$ egyenlőtlenséget kapjuk.

Statisztika:

105 dolgozat érkezett.
3 pontot kapott:	67 versenyző.
2 pontot kapott:	21 versenyző.
1 pontot kapott:	15 versenyző.
0 pontot kapott:	2 versenyző.

A KöMaL 2018. decemberi matematika feladatai