A B. 4993. feladat (2018. december)

B. 4993. Rajzoljunk az $\displaystyle ABC$ derékszögű háromszög $\displaystyle BC$ és $\displaystyle CA$ befogói fölé négyzeteket. A négyzetek $\displaystyle C$-vel átellenes csúcsai legyenek $\displaystyle D$ és $\displaystyle E$. Mutassuk meg, hogy az $\displaystyle ABC$ háromszög köré írt kör átmegy a $\displaystyle DE$ szakasz felezőpontján.

(4 pont)

A beküldési határidő 2019. január 10-én LEJÁRT.

Megoldás. Legyen az $\displaystyle ABC$ háromszög $\displaystyle AC$ befogójának a hossza $\displaystyle b$, míg a $\displaystyle BC$ befogó hossza $\displaystyle a$. Legyen az $\displaystyle ABC$ háromszög Thalesz-körének a középpontja $\displaystyle O$, a $\displaystyle C$ pontnak az $\displaystyle O$ pontra vonatkozó tükörképe $\displaystyle C'$, míg a $\displaystyle DE$ szakasz felezőpontját jelöljük $\displaystyle F$-fel (az alábbi ábra szerint).

$\displaystyle AC'B \measuredangle =90^{\circ}$ a tükrözés miatt, és $\displaystyle AC'BC$ téglalap. Emiatt a $\displaystyle C',B,E$ pontok, illetve a $\displaystyle C',A,D$ pontok is egy-egy egyenesre esnek. A $\displaystyle C'E$ és a $\displaystyle C'D$ szakaszok hossza is $\displaystyle a+b$, emiatt $\displaystyle DC'E$ derékszögű egyenlőszárú háromszög. Mivel $\displaystyle F$ az $\displaystyle ED$ felezőpontja, ezért $\displaystyle EFC' \measuredangle =90^{\circ}$.

Másfelől $\displaystyle ECB \measuredangle = DCA \measuredangle =45^{\circ}$, mivel $\displaystyle ECB$, illetve $\displaystyle CDA$ egyenlőszárú derékszögű háromszögek ("fél-négyzetek"), de akkor $\displaystyle ECD \measuredangle = ECB \measuredangle + BCA \measuredangle + ACD \measuredangle =45^{\circ} +90^{\circ}+45^{\circ} =180^{\circ}$, azaz $\displaystyle E, C, D$ egy egyenesre esnek, és ezen az egyenesen van $\displaystyle F$ is. Emiatt $\displaystyle EFC' \measuredangle =CFC' \measuredangle =90^{\circ}$, azaz az $\displaystyle F$ pont rajta van a $\displaystyle CC'$ szakasz, mint átmérő fölé rajzolt Thalesz-körön.

Mivel $\displaystyle AC'BC$ téglalap, ezért $\displaystyle CC'F$ köréírt köre egybeesik az $\displaystyle ABC$ háromszög köréírt körével. Ezzel az állítást igazoltuk.

Diszkusszió: Abban az egy esetben nem ez a konfiguráció jön létre, ha az induló derékszögű $\displaystyle ABC$ háromszög egyenlőszárú. Ekkor $\displaystyle ED$ felezőpontja $\displaystyle C$, így az állítás nyilvánvalóan teljesül.

Statisztika:

103 dolgozat érkezett.
4 pontot kapott:	73 versenyző.
3 pontot kapott:	18 versenyző.
2 pontot kapott:	2 versenyző.
1 pontot kapott:	4 versenyző.
0 pontot kapott:	6 versenyző.

A KöMaL 2018. decemberi matematika feladatai