A B. 4993. feladat (2018. december)

B. 4993. Rajzoljunk az \(\displaystyle ABC\) derékszögű háromszög \(\displaystyle BC\) és \(\displaystyle CA\) befogói fölé négyzeteket. A négyzetek \(\displaystyle C\)-vel átellenes csúcsai legyenek \(\displaystyle D\) és \(\displaystyle E\). Mutassuk meg, hogy az \(\displaystyle ABC\) háromszög köré írt kör átmegy a \(\displaystyle DE\) szakasz felezőpontján.

(4 pont)

A beküldési határidő 2019. január 10-én LEJÁRT.

Megoldás. Legyen az \(\displaystyle ABC\) háromszög \(\displaystyle AC\) befogójának a hossza \(\displaystyle b\), míg a \(\displaystyle BC\) befogó hossza \(\displaystyle a\). Legyen az \(\displaystyle ABC\) háromszög Thalesz-körének a középpontja \(\displaystyle O\), a \(\displaystyle C\) pontnak az \(\displaystyle O\) pontra vonatkozó tükörképe \(\displaystyle C'\), míg a \(\displaystyle DE\) szakasz felezőpontját jelöljük \(\displaystyle F\)-fel (az alábbi ábra szerint).

\(\displaystyle AC'B \measuredangle =90^{\circ}\) a tükrözés miatt, és \(\displaystyle AC'BC\) téglalap. Emiatt a \(\displaystyle C',B,E\) pontok, illetve a \(\displaystyle C',A,D\) pontok is egy-egy egyenesre esnek. A \(\displaystyle C'E\) és a \(\displaystyle C'D\) szakaszok hossza is \(\displaystyle a+b\), emiatt \(\displaystyle DC'E\) derékszögű egyenlőszárú háromszög. Mivel \(\displaystyle F\) az \(\displaystyle ED\) felezőpontja, ezért \(\displaystyle EFC' \measuredangle =90^{\circ}\).

Másfelől \(\displaystyle ECB \measuredangle = DCA \measuredangle =45^{\circ}\), mivel \(\displaystyle ECB\), illetve \(\displaystyle CDA\) egyenlőszárú derékszögű háromszögek ("fél-négyzetek"), de akkor \(\displaystyle ECD \measuredangle = ECB \measuredangle + BCA \measuredangle + ACD \measuredangle =45^{\circ} +90^{\circ}+45^{\circ} =180^{\circ}\), azaz \(\displaystyle E, C, D\) egy egyenesre esnek, és ezen az egyenesen van \(\displaystyle F\) is. Emiatt \(\displaystyle EFC' \measuredangle =CFC' \measuredangle =90^{\circ}\), azaz az \(\displaystyle F\) pont rajta van a \(\displaystyle CC'\) szakasz, mint átmérő fölé rajzolt Thalesz-körön.

Mivel \(\displaystyle AC'BC\) téglalap, ezért \(\displaystyle CC'F\) köréírt köre egybeesik az \(\displaystyle ABC\) háromszög köréírt körével. Ezzel az állítást igazoltuk.

Diszkusszió: Abban az egy esetben nem ez a konfiguráció jön létre, ha az induló derékszögű \(\displaystyle ABC\) háromszög egyenlőszárú. Ekkor \(\displaystyle ED\) felezőpontja \(\displaystyle C\), így az állítás nyilvánvalóan teljesül.

Statisztika:

103 dolgozat érkezett.
4 pontot kapott:	73 versenyző.
3 pontot kapott:	18 versenyző.
2 pontot kapott:	2 versenyző.
1 pontot kapott:	4 versenyző.
0 pontot kapott:	6 versenyző.

A KöMaL 2018. decemberi matematika feladatai