A B. 4998. feladat (2019. január)

B. 4998. Az általános iskolai Logikai Készlet \(\displaystyle 48\) műanyag lapocskából áll. A lapokat négy jellemző tulajdonság írja le: egy-egy elem mérete lehet kicsi vagy nagy; lehet sima vagy lyukas; a színe piros, sárga, kék vagy zöld; alakja kör, négyzet vagy háromszög. A tulajdonságok minden lehetséges kombinációja (pl. kicsi kék lyukas kör) pontosan egy lapocskára igaz. Hány olyan \(\displaystyle x\) eleme van a készletnek, amelyhez található a készletnek olyan \(\displaystyle y\) eleme, amelyre az alábbi két feltétel mindegyike teljesül?

1. Ha \(\displaystyle x\) sima vagy piros, akkor \(\displaystyle y\) kicsi sárga négyzet.

2. Ha \(\displaystyle y\) kicsi vagy kék, akkor \(\displaystyle x\) zöld háromszög, vagy pedig valamilyen sima alakzat.

ELTE TTK elsőéves analízis zárthelyi dolgozat alapján

(4 pont)

A beküldési határidő 2019. február 11-én LEJÁRT.

Megoldás. Ha \(\displaystyle x\) nem sima és nem is piros, akkor az 1. állítás minden \(\displaystyle y\)-ra teljesül. Ha \(\displaystyle y\)-nak például egy nagy piros alakzatot választunk, akkor a 2. állítás is teljesül, vagyis az ilyen \(\displaystyle x\)-ekhez mindig tartozik megfelelő \(\displaystyle y\).

Ha \(\displaystyle x\) sima, akkor a 2. állítás biztosan teljesül. Ha \(\displaystyle y\)-nak egy kicsi sárga négyzetet választunk, akkor az 1. állítás is teljesül, vagyis ilyenkor is van megfelelő \(\displaystyle y\).

Azokat az \(\displaystyle x\)-eket kell még vizsgálnunk, amelyek pirosak, de nem simák. Ahhoz, hogy az 1. állítás teljesüljön, \(\displaystyle y\)-nak valamelyik kicsi sárga négyzetnek kell lennie. Mivel \(\displaystyle y\) kicsi, ezért a 2. állítás teljesüléséhez \(\displaystyle x\)-nek zöld háromszögnek vagy sima alakzatnak kellene lennie. Azonban \(\displaystyle x\) piros (így nem lehet zöld háromszög) és nem sima. Vagyis ezekhez az \(\displaystyle x\)-ekhez nem választható megfelelő \(\displaystyle y\). A piros, de nem sima (azaz piros és lyukas) alakzatok száma 6, hiszen egy ilyen alakzat mérete kétféle lehet (kicsi vagy nagy), alakja pedig háromféle (kör, négyzet, vagy háromszög).

Ezzel az összes lehetőséget megvizsgáltuk.

Tehát 6 olyan \(\displaystyle x\) alakzat van, amihez nem választható megfelelő \(\displaystyle y\), így \(\displaystyle 48-6=42\) olyan, amihez tartozik.

Statisztika:

103 dolgozat érkezett.
4 pontot kapott:	74 versenyző.
3 pontot kapott:	6 versenyző.
2 pontot kapott:	9 versenyző.
0 pontot kapott:	14 versenyző.

A KöMaL 2019. januári matematika feladatai