A B. 5004. feladat (2019. január)

B. 5004. $\displaystyle 2n$ egymást követő egész szám között legfeljebb hány olyan lehet, amely osztható az $\displaystyle n+1$, $\displaystyle n+2$, $\displaystyle \ldots$, $\displaystyle 2n$ számok közül legalább az egyikkel?

Javasolta: Róka Sándor (Nyíregyháza)

(6 pont)

A beküldési határidő 2019. február 11-én LEJÁRT.

Megoldás. Azt fogjuk bebizonyítani, hogy a válasz $\displaystyle [3n/2]$.

Először is megjegyezzük, hogy az $\displaystyle n+1,n+2,\dots,2n$ számok mindegyikének legfeljebb két többszöröse van $\displaystyle 2n$ egymást követő szám között, hiszen $\displaystyle 2(n+1)>2n-1$. Továbbá amennyiben kettő van, akkor ezek közül az egyik biztosan páros, hiszen a páros számok összes többszöröse páros, a páratlan számok többszörösei pedig felváltva párosak és páratlanok.

Az $\displaystyle n+1,n+2,\dots,2n$ számok között $\displaystyle [n/2]$ páratlan szám van, a $\displaystyle 2n$ szomszédos egész szám közé eső páratlan számoknak csak ezek közül lehet osztója, és az előzőek szerint mindnek legfeljebb 1. Mivel $\displaystyle 2n$ szomszédos egész szám között a páratlanok száma $\displaystyle n$, így arra jutottunk, hogy ezen $\displaystyle n$ páratlan szám közül legfeljebb $\displaystyle [n/2]$-nek lehet osztója az $\displaystyle n+1,n+2,\dots,2n$ számok között. A párosak száma szintén $\displaystyle n$, így összességében a $\displaystyle 2n$ szomszédos szám közül legfeljebb $\displaystyle n+[n/2]=[3n/2]$-nek lehet osztója az $\displaystyle n+1,n+2,\dots,2n$ számok között.

Most megmutatjuk, hogy ennyinek lehet is. A korábbiak alapján ehhez az kell, hogy mind az $\displaystyle [n/2]$ páratlan $\displaystyle [n+1,2n]$-beli számnak legyen páratlan többszöröse a $\displaystyle 2n$ szomszédos szám között, ezek legyenek páronként különbözők, továbbá a $\displaystyle 2n$ szomszédos számunk közé eső párosak mindegyikének is legyen osztója $\displaystyle n+1,n+2,\dots,2n$ között. Ez mind teljesül, ha a $\displaystyle 2n$ szomszédos szám $\displaystyle n+1,n+2,\dots,3n$. A páratlanokra vonatkozó feltétel teljesül: minden $\displaystyle n+1$ és $\displaystyle 2n$ közötti számnak – speciálisan a páratlanoknak is – van megfelelő osztója (saját maguk). Így a páratlanokra vonatkozó feltétel teljesül, és a párosak közül is elég ellenőrizni, hogy a $\displaystyle [2n+1,3n]$-be esőknek van $\displaystyle [n+1,2n]$-beli osztójuk. Mivel egy $\displaystyle [2n+1,3n]$-be eső páros szám fele $\displaystyle [n+1/2,3n/2]$-be eső egész szám, így ez is teljesül.

Tehát a feladat kérdésére $\displaystyle [3n/2]$ a válasz.

Statisztika:

47 dolgozat érkezett.
6 pontot kapott:	Baski Bence, Beke Csongor, Bokor Endre, Csaplár Viktor, Dobák Dániel, Fleiner Zsigmond, Füredi Erik Benjámin, Geretovszky Anna, Győrffy Ágoston, Győrffy Johanna, Hegedűs Dániel, Kovács 129 Tamás, Kun Ágoston , Mátravölgyi Bence, Nagy Nándor, Nyárfádi Patrik, Rareș Polenciuc, Soós 314 Máté, Telek Zsigmond , Terjék András József, Tóth Ábel, Velich Nóra, Weisz Máté, Zsigri Bálint.
3 pontot kapott:	8 versenyző.
2 pontot kapott:	5 versenyző.
1 pontot kapott:	3 versenyző.
0 pontot kapott:	5 versenyző.
Nem versenyszerű:	1 dolgozat.
Nem számítjuk a versenybe a születési dátum vagy a szülői nyilatkozat hiánya miatt:	1 dolgozat.

A KöMaL 2019. januári matematika feladatai