A B. 5005. feladat (2019. január)

B. 5005. Az \(\displaystyle ABC\) hegyesszögű háromszög magasságvonalainak talppontja a \(\displaystyle BC\), \(\displaystyle CA\), \(\displaystyle AB\) oldalakon rendre \(\displaystyle D\), \(\displaystyle E\), \(\displaystyle F\), az \(\displaystyle ABC\) háromszög magasságpontja \(\displaystyle M\). Jelölje az \(\displaystyle AB\), mint átmérő fölé rajzolt kört \(\displaystyle k_1\), a \(\displaystyle DEM\) háromszög körülírt körét \(\displaystyle k_2\). Vegyük föl a \(\displaystyle k_2\) körnek a \(\displaystyle D\) pontot nem tartalmazó \(\displaystyle EM\) ívén az \(\displaystyle E\), \(\displaystyle M\) pontoktól különböző \(\displaystyle P\) pontot. Messe a \(\displaystyle DP\) egyenes a \(\displaystyle k_1\) kört másodszor a \(\displaystyle Q\) pontban, és legyen a \(\displaystyle PQ\) szakasz felezőpontja \(\displaystyle R\). Mutassuk meg, hogy az \(\displaystyle AQ\), \(\displaystyle MP\), \(\displaystyle FR\) egyenesek egy pontban metszik egymást.

Javasolta: Bíró Bálint (Eger)

(6 pont)

A beküldési határidő 2019. február 11-én LEJÁRT.

Megoldás. Legyen \(\displaystyle X=MP\cap AQ\). Azt kell igazolnunk, hogy az \(\displaystyle X,F,R\) pontok egy egyenesen vannak, avagy (irányított, modulo \(\displaystyle 180^\circ\) szögekkel) \(\displaystyle MXR\measuredangle = MXF\measuredangle\).

Legyen \(\displaystyle ABC\measuredangle=\beta\). Az \(\displaystyle ABDQ\) húrnégyszögben \(\displaystyle XQP\measuredangle=AQD\measuredangle=ABD\measuredangle=\beta\), a \(\displaystyle CPMD\) húrnégyszögben \(\displaystyle QPX\measuredangle=DPM\measuredangle=DCM\measuredangle=90^\circ-\beta\), tehát \(\displaystyle PXQ\measuredangle=90^\circ\); az \(\displaystyle X\) ponton átmegy az \(\displaystyle AFME\) és az \(\displaystyle R\) középpontú \(\displaystyle PQE\) kör.

Az \(\displaystyle RPX\) egyenlő szárú háromszögből, a \(\displaystyle CPMD\) húrnégyszögből, az \(\displaystyle DCM\measuredangle\) és \(\displaystyle MAF\measuredangle\) merőleges szárú szögekből, majd az \(\displaystyle AFMX\) húrnégyszögből látjuk, hogy

\(\displaystyle MXR\measuredangle = RPX\measuredangle = DPM\measuredangle = DCM\measuredangle = MAF\measuredangle = MXF\measuredangle. \)

Ezzel az állítást igazoltuk.

Statisztika:

28 dolgozat érkezett.
6 pontot kapott:	Balogh Zsófia, Baski Bence, Beke Csongor, Csaplár Viktor, Dobák Dániel, Fekete Richárd, Füredi Erik Benjámin, Geretovszky Anna, Győrffy Ágoston, Hámori Janka, Hegedűs Dániel, Hervay Bence, Jánosik Áron, Kerekes Anna, Kovács 129 Tamás, Mátravölgyi Bence, Nagy Nándor, Nguyen Bich Diep, Pooya Esmaeil Akhoondy, Rareș Polenciuc, Szabó 417 Dávid, Tiderenczl Dániel, Tóth Ábel, Várkonyi Zsombor, Velich Nóra, Weisz Máté.
3 pontot kapott:	1 versenyző.
0 pontot kapott:	1 versenyző.

A KöMaL 2019. januári matematika feladatai