Problem B. 5011. (February 2019)

B. 5011. We are given 6 points in the plane such that all pairwise distances are different. Show that there exist two triangles with the following property: each vertex is among the 6 given points, and the two triangles share a side in common such that this side is the shortest one in one triangle and the longest one in the other.

Proposed by S. Róka, Nyíregyháza

(5 pont)

Deadline expired on March 11, 2019.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Tekintsük a pontok által meghatározott szakaszokat. Színezzük azokat a szakaszokat pirosra, amelyek valamely, a pontok által meghatározott háromszögben leghosszabb oldalak. A többi szakaszt színezzük kékre.

Ismert, hogy ha egy hat csúcsú teljes gráf éleit kettő színnel színezzük, akkor lesz olyan háromszög, amelynek minden oldala azonos színű, lásd például itt.

A létrejövő egyszínű háromszög azonban nem lehet kék, mert a leghosszabb oldalát pirosra színeztük. Így biztosan van egy háromszög, aminek mindhárom oldala piros. Ezen három piros oldal közül tekintsük a legrövidebbet. Ez a csupa piros háromszögben legrövidebb oldal, és valamely háromszögben leghosszabb oldal (mivel pirosra színeztük). Ezzel az állítást beláttuk.

Statistics:

33 students sent a solution.
5 points:	Baski Bence, Beke Csongor, Biczó Benedek, Bursics András, Csaplár Viktor, Füredi Erik Benjámin, Geretovszky Anna, Győrffy Johanna, Hegedűs Dániel, Hervay Bence, Jánosik Áron, Jánosik Máté, Kerekes Anna, Kerekes Boldizsár, Nagy 551 Levente, Sebestyén Pál Botond, Soós 314 Máté, Stomfai Gergely, Szabó 991 Kornél, Telek Zsigmond , Várkonyi Zsombor, Weisz Máté, Zsigri Bálint.
4 points:	Velich Nóra.
3 points:	1 student.
2 points:	1 student.
1 point:	3 students.
0 point:	4 students.

Problems in Mathematics of KöMaL, February 2019