A B. 5016. feladat (2019. március)

B. 5016. Adott egy $\displaystyle ABCD$ konvex négyszög. Úgy jelöljük ki az $\displaystyle AD$ oldal $\displaystyle E_1$, a $\displaystyle BC$ oldal $\displaystyle F_1$, az $\displaystyle AC$ átló $\displaystyle E_2$ és a $\displaystyle BD$ átló $\displaystyle F_2$ pontját, hogy

$\displaystyle AE_1:E_1D=BF_1:F_1C=AE_2:E_2C=BF_2:F_2D=AB:CD.$

Tudjuk, hogy semelyik két pont nem esik egybe. Bizonyítsuk be, hogy ekkor az $\displaystyle E_1F_1$ és $\displaystyle E_2F_2$ egyenesek merőlegesek egymásra.

(4 pont)

A beküldési határidő 2019. április 10-én LEJÁRT.

Megoldás. Legyen $\displaystyle AB=x$ és $\displaystyle CD=y$. A feltétel szerint az $\displaystyle E_1$ és az $\displaystyle F_2$ pontok a $\displaystyle DA$, illetve $\displaystyle DB$ szakaszokat $\displaystyle y:x$ arányban osztják, ezért $\displaystyle \frac{DE_1}{DA}=\frac{DF_2}{DB}=\frac{y}{x+y}$. Ha az $\displaystyle AB$ szakaszt a $\displaystyle D$ pontból $\displaystyle \frac{y}{x+y}$-szorosára kicsinyítjük, éppen az $\displaystyle E_1E_2$ szakaszt kapjuk. Ezért az $\displaystyle E_1E_2$ szakasz hossza

$\displaystyle E_1F_2 = \frac{y}{x+y}\cdot AB = \frac{y}{x+y}\cdot x = \frac{xy}{x+y}.$

Hasonlóan, az $\displaystyle AB$ szakaszt a $\displaystyle C$-ból $\displaystyle \frac{y}{x+y}$-szorosára, a $\displaystyle CD$ szakaszt $\displaystyle A$-ból és $\displaystyle B$-ből $\displaystyle \frac{x}{x+y}$-szorosára kicsinyítve kapjuk, hogy $\displaystyle E_2F_1=E_1E_2=F_1F_2=\frac{xy}{x+y}$.

Mint látjuk, az $\displaystyle E_1E_2F_1F_2$ négyszög mindegyik oldala $\displaystyle \frac{xy}{x+y}$ hosszúságú, az $\displaystyle E_1E_2F_1F_2$ négyszög tehát egy rombusz. Akkor viszont az átlói, $\displaystyle E_1F_1$ és $\displaystyle E_2F_2$ merőlegesek egymásra.

Statisztika:

48 dolgozat érkezett.
4 pontot kapott:	Al-Hag Máté Amin, Balogh Zsófia, Baski Bence, Beke Csongor, Bognár 171 András Károly, Bukva Dávid, Csaplár Viktor, Fleiner Zsigmond, Fraknói Ádám, Füredi Erik Benjámin, Geretovszky Anna, Győrffi Ádám György, Hámori Janka, Hegedűs Dániel, Hervay Bence, Jánosik Áron, Kerekes Boldizsár, Kiss 014 Dávid, Kitschner Bernadett, Kovács 129 Tamás, Laki Anna, Lovas Márton, Ludányi Levente, Mátravölgyi Bence, Nagy 551 Levente, Nagy Nándor, Nguyen Bich Diep, Osztényi József, Rareș Polenciuc, Sebestyén Pál Botond, Soós 314 Máté, Stomfai Gergely, Szabó 991 Kornél, Tálos Zoltán, Telek Zsigmond , Tiderenczl Dániel, Tóth 827 Balázs, Tóth Ábel, Tubak Dániel, Várkonyi Zsombor, Velich Nóra, Weisz Máté, Zsigri Bálint.
3 pontot kapott:	Csizmadia Miklós, Fekete Richárd.
2 pontot kapott:	3 versenyző.

A KöMaL 2019. márciusi matematika feladatai