Problem B. 5020. (March 2019)

B. 5020. A parabola is reflected in a line that passes through its focus and encloses an angle \(\displaystyle \alpha\) with its axis. Show that the parabola and its reflection intersect at an angle of \(\displaystyle \alpha\).

Proposed by L. Németh, Fonyód

(5 pont)

Deadline expired on April 10, 2019.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. A parabola fókusza \(\displaystyle F\), vezéregyenese \(\displaystyle d_1\); az \(\displaystyle F\)-en átmenő, a parabola tengelyével \(\displaystyle \alpha\) szöget bezáró \(\displaystyle h\) egyenesre való tükörképének fókusza is \(\displaystyle F\), vezéregyenese pedig \(\displaystyle d_2\). Ha \(\displaystyle P\) a két parabolának közös pontja, akkor a \(\displaystyle d_1\)-től és a \(\displaystyle d_2\)-től való \(\displaystyle PP_1\), illetve \(\displaystyle PP_2\) távolsága egyaránt \(\displaystyle PF\), ezért a \(\displaystyle d_1\) és \(\displaystyle d_2\) által bezárt szög \(\displaystyle h\) felezőjén helyezkedik el.

A parabolák \(\displaystyle P\)-beli \(\displaystyle e_1\), illetve \(\displaystyle e_2\) érintői felezik a \(\displaystyle P_1PF\sphericalangle =FPP_2\sphericalangle \) szögeket, így az \(\displaystyle e_1\) és \(\displaystyle e_2\) egyenesek által bezárt szög \(\displaystyle P_1PP_2\sphericalangle /2=P_1PF\sphericalangle =90^{\circ} - (d_1\text{\ és\ }h \text{\ szöge})= 90^{\circ} - (90^{\circ}-\alpha)=\alpha\).

Statistics:

30 students sent a solution.
5 points:	Apagyi Dávid, Beke Csongor, Bencsik Ádám, Bukva Dávid, Csaplár Viktor, Fekete Richárd, Fleiner Zsigmond, Fraknói Ádám, Füredi Erik Benjámin, Geretovszky Anna, Győrffi Ádám György, Hegedűs Dániel, Hervay Bence, Hoffmann Balázs, Kitschner Bernadett, Nagy Nándor, Rareș Polenciuc, Richlik Róbert, Soós 314 Máté, Stomfai Gergely, Szabó 991 Kornél, Telek Zsigmond , Tiderenczl Dániel, Tóth 827 Balázs, Várkonyi Zsombor, Velich Nóra, Weisz Máté, Zsigri Bálint.
3 points:	1 student.
2 points:	1 student.

Problems in Mathematics of KöMaL, March 2019