A B. 5036. feladat (2019. május)

B. 5036. Az \(\displaystyle M\) pontból két érintőt húztunk egy \(\displaystyle O\) középpontú derékszögű hiperbolához. Az egyik érintő a hiperbola egyik aszimptotáját a \(\displaystyle P\), a másik érintő a másik aszimptotát a \(\displaystyle Q\) pontban metszi. Igazoljuk, hogy az \(\displaystyle OM\) egyenes felezi a \(\displaystyle PQ\) szakaszt.

(5 pont)

A beküldési határidő 2019. június 11-én LEJÁRT.

Megoldás. Legyen a két aszimptota \(\displaystyle i\) és \(\displaystyle j\), a két aszimptota ideális pontjai \(\displaystyle I\), illetve \(\displaystyle J\). Az aszimptoták az ideális pontokban érintik a hiperbolát. Továbbá legyen \(\displaystyle p=MP\) és \(\displaystyle q=MQ\), \(\displaystyle R=q\cap i\) és \(\displaystyle S=p\cap j\).

A Brianchon-tételt a hiperbola \(\displaystyle p,i,i,q,j,j\) érintőire, avagy a \(\displaystyle PIRQJS\) elfajult érintőhatszögre felírva látjuk, hogy a \(\displaystyle PQ\), \(\displaystyle RS\) és \(\displaystyle IJ\) egyenesek egy ponton mennek át, vagyis \(\displaystyle PQ\|RS\). Tehát \(\displaystyle PQRS\) trapéz, \(\displaystyle M\) a szárak, \(\displaystyle O\) az átlók metszéspontja. Az ezeket összekötő egyenes felezi a két alapot, vagyis \(\displaystyle PQ\)-t és \(\displaystyle RS\)-et.

Statisztika:

17 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	Beke Csongor, Csaplár Viktor, Fekete Richárd, Füredi Erik Benjámin, Geretovszky Anna, Győrffi Ádám György, Győrffy Ágoston, Hegedűs Dániel, Nagy Nándor, Rareș Polenciuc, Richlik Róbert, Szabó 991 Kornél, Telek Zsigmond , Tiderenczl Dániel, Várkonyi Zsombor, Velich Nóra, Weisz Máté.

A KöMaL 2019. májusi matematika feladatai