A B. 5036. feladat (2019. május)

B. 5036. Az $\displaystyle M$ pontból két érintőt húztunk egy $\displaystyle O$ középpontú derékszögű hiperbolához. Az egyik érintő a hiperbola egyik aszimptotáját a $\displaystyle P$, a másik érintő a másik aszimptotát a $\displaystyle Q$ pontban metszi. Igazoljuk, hogy az $\displaystyle OM$ egyenes felezi a $\displaystyle PQ$ szakaszt.

(5 pont)

A beküldési határidő 2019. június 11-én LEJÁRT.

Megoldás. Legyen a két aszimptota $\displaystyle i$ és $\displaystyle j$, a két aszimptota ideális pontjai $\displaystyle I$, illetve $\displaystyle J$. Az aszimptoták az ideális pontokban érintik a hiperbolát. Továbbá legyen $\displaystyle p=MP$ és $\displaystyle q=MQ$, $\displaystyle R=q\cap i$ és $\displaystyle S=p\cap j$.

A Brianchon-tételt a hiperbola $\displaystyle p,i,i,q,j,j$ érintőire, avagy a $\displaystyle PIRQJS$ elfajult érintőhatszögre felírva látjuk, hogy a $\displaystyle PQ$, $\displaystyle RS$ és $\displaystyle IJ$ egyenesek egy ponton mennek át, vagyis $\displaystyle PQ\|RS$. Tehát $\displaystyle PQRS$ trapéz, $\displaystyle M$ a szárak, $\displaystyle O$ az átlók metszéspontja. Az ezeket összekötő egyenes felezi a két alapot, vagyis $\displaystyle PQ$-t és $\displaystyle RS$-et.

Statisztika:

17 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	Beke Csongor, Csaplár Viktor, Fekete Richárd, Füredi Erik Benjámin, Geretovszky Anna, Győrffi Ádám György, Győrffy Ágoston, Hegedűs Dániel, Nagy Nándor, Rareș Polenciuc, Richlik Róbert, Szabó 991 Kornél, Telek Zsigmond , Tiderenczl Dániel, Várkonyi Zsombor, Velich Nóra, Weisz Máté.

A KöMaL 2019. májusi matematika feladatai