A B. 5037. feladat (2019. május)

B. 5037. Adott egy $\displaystyle P$ poliéder. A $\displaystyle P$-t feldaraboljuk a $\displaystyle P_1, \ldots, P_k$ poliéderekre, valamint a $\displaystyle Q_1, \ldots, Q_k$ poliéderekre is úgy, hogy minden $\displaystyle i=1, \ldots, k$ esetén a $\displaystyle P_i$ és $\displaystyle Q_i$ poliéderek egybevágóak. Mutassuk meg, hogy kijelölhetünk $\displaystyle P$ belsejében néhány pontot úgy, hogy minden $\displaystyle i=1, \ldots, k$ esetén a $\displaystyle P_i$ és $\displaystyle Q_i$ poliéderek belsejébe ugyanannyi (legalább egy) pont esik. (Minden poliéder helyzete rögzített a térben.)

(6 pont)

A beküldési határidő 2019. június 11-én LEJÁRT.

Megoldás. Tekintsük $\displaystyle P_j$ és $\displaystyle Q_j$ poliéderek összes lapsíkjait. Darabolják ezek a $\displaystyle P$ poliédert $\displaystyle R_1, \ldots, R_m$ kis poliéderekre (amelyek egyfajta "közös finomításai" a $\displaystyle P_i$ és $\displaystyle Q_i$ feldarabolásoknak).

Jelölje $\displaystyle x_j$ az $\displaystyle R_j$-be eső kijelölendő pontok számát. (A daraboló síkokra nem teszünk pontot.) Ha felírjuk az összes feltételt, miszerint $\displaystyle P_i$ és $\displaystyle Q_i$ poliéderekbe ugyanannyi kijelölt pont esik, akkor kapunk egy $\displaystyle k$ darab egyenletből álló egyenletrendszert $\displaystyle x_j$ ismeretlenekkel. Világos, hogy az egyenletrendszer homogén lineáris, és az $\displaystyle x_j$-k együtthatói egészek (valójában $\displaystyle -1$, $\displaystyle 0$ vagy $\displaystyle 1$ minden együttható). A továbbiakban megmutatjuk, hogy ennek az egyenletrendszernek van olyan megoldása, amiben minden változó pozitív egész értéket vesz fel. Ebből a feladat állítása azonnal következik.

Először is vegyük észre, hogy az egyenletrendszernek egy pozitív megoldása, ha $\displaystyle x_j$ éppen $\displaystyle R_j$ térfogata. Valóban, mivel $\displaystyle P_i$ és $\displaystyle Q_i$ egybevágóak, így térfogatuk megegyezik. Továbbá a térfogat tulajdonságai miatt $\displaystyle P_i$ térfogata megegyezik a bele eső $\displaystyle R_j$ poliéderek térfogatainak összegével.

Ebből következően az egyenletrendszernek végtelen sok megoldása van, vagyis a megoldásban van legalább egy szabad változó. Továbbá mivel az egyenletrendszer egész együtthatós, így a Gauss-elimináció során végig csak racionális együtthatók fordulhatnak elő, vagyis a kötött változók kifejezhetők a szabad változók racionális együtthatós lineáris kombinációjaként. Ezek alapján világos, hogy ha a szabad változók értékét a korábban mutatott pozitív megoldásban felvett valós értékhez elegendően közeli racionális számnak választjuk, akkor olyan megoldást kapunk, amelyben minden változó pozitív racionális értékű. Ebből - kihasználva a homogenitást - a nevezők legkisebb közös többszörösével szorozva egy csupa pozitív egészekből álló megoldást nyerünk. Ezzel a bizonyítást befejeztük.

Statisztika:

10 dolgozat érkezett.
6 pontot kapott:	Beke Csongor, Füredi Erik Benjámin, Nagy Nándor, Weisz Máté.
4 pontot kapott:	2 versenyző.
2 pontot kapott:	4 versenyző.

A KöMaL 2019. májusi matematika feladatai