A B. 5037. feladat (2019. május)

B. 5037. Adott egy \(\displaystyle P\) poliéder. A \(\displaystyle P\)-t feldaraboljuk a \(\displaystyle P_1, \ldots, P_k\) poliéderekre, valamint a \(\displaystyle Q_1, \ldots, Q_k\) poliéderekre is úgy, hogy minden \(\displaystyle i=1, \ldots, k\) esetén a \(\displaystyle P_i\) és \(\displaystyle Q_i\) poliéderek egybevágóak. Mutassuk meg, hogy kijelölhetünk \(\displaystyle P\) belsejében néhány pontot úgy, hogy minden \(\displaystyle i=1, \ldots, k\) esetén a \(\displaystyle P_i\) és \(\displaystyle Q_i\) poliéderek belsejébe ugyanannyi (legalább egy) pont esik. (Minden poliéder helyzete rögzített a térben.)

(6 pont)

A beküldési határidő 2019. június 11-én LEJÁRT.

Megoldás. Tekintsük \(\displaystyle P_j\) és \(\displaystyle Q_j\) poliéderek összes lapsíkjait. Darabolják ezek a \(\displaystyle P\) poliédert \(\displaystyle R_1, \ldots, R_m\) kis poliéderekre (amelyek egyfajta "közös finomításai" a \(\displaystyle P_i\) és \(\displaystyle Q_i\) feldarabolásoknak).

Jelölje \(\displaystyle x_j\) az \(\displaystyle R_j\)-be eső kijelölendő pontok számát. (A daraboló síkokra nem teszünk pontot.) Ha felírjuk az összes feltételt, miszerint \(\displaystyle P_i\) és \(\displaystyle Q_i\) poliéderekbe ugyanannyi kijelölt pont esik, akkor kapunk egy \(\displaystyle k\) darab egyenletből álló egyenletrendszert \(\displaystyle x_j\) ismeretlenekkel. Világos, hogy az egyenletrendszer homogén lineáris, és az \(\displaystyle x_j\)-k együtthatói egészek (valójában \(\displaystyle -1\), \(\displaystyle 0\) vagy \(\displaystyle 1\) minden együttható). A továbbiakban megmutatjuk, hogy ennek az egyenletrendszernek van olyan megoldása, amiben minden változó pozitív egész értéket vesz fel. Ebből a feladat állítása azonnal következik.

Először is vegyük észre, hogy az egyenletrendszernek egy pozitív megoldása, ha \(\displaystyle x_j\) éppen \(\displaystyle R_j\) térfogata. Valóban, mivel \(\displaystyle P_i\) és \(\displaystyle Q_i\) egybevágóak, így térfogatuk megegyezik. Továbbá a térfogat tulajdonságai miatt \(\displaystyle P_i\) térfogata megegyezik a bele eső \(\displaystyle R_j\) poliéderek térfogatainak összegével.

Ebből következően az egyenletrendszernek végtelen sok megoldása van, vagyis a megoldásban van legalább egy szabad változó. Továbbá mivel az egyenletrendszer egész együtthatós, így a Gauss-elimináció során végig csak racionális együtthatók fordulhatnak elő, vagyis a kötött változók kifejezhetők a szabad változók racionális együtthatós lineáris kombinációjaként. Ezek alapján világos, hogy ha a szabad változók értékét a korábban mutatott pozitív megoldásban felvett valós értékhez elegendően közeli racionális számnak választjuk, akkor olyan megoldást kapunk, amelyben minden változó pozitív racionális értékű. Ebből - kihasználva a homogenitást - a nevezők legkisebb közös többszörösével szorozva egy csupa pozitív egészekből álló megoldást nyerünk. Ezzel a bizonyítást befejeztük.

Statisztika:

10 dolgozat érkezett.
6 pontot kapott:	Beke Csongor, Füredi Erik Benjámin, Nagy Nándor, Weisz Máté.
4 pontot kapott:	2 versenyző.
2 pontot kapott:	4 versenyző.

A KöMaL 2019. májusi matematika feladatai