A B. 5039. feladat (2019. szeptember)

B. 5039. Egy $\displaystyle 2019\times 2019$-es táblázat mindegyik mezőjébe vagy $\displaystyle (+1)$-et, vagy $\displaystyle (-1)$-et írunk, majd kiszámoljuk az összes sor- és oszlopösszeget. Legfeljebb hány különböző számot kaphatunk?

Javasolta: Blahota István (Nyíregyháza)

(3 pont)

A beküldési határidő 2019. október 10-én LEJÁRT.

Megoldás. Minden sor-, és oszlopösszeg $\displaystyle 2019$ darab páratlan szám összege, így mindenképpen páratlan. A mezőkbe írt számok abszolút értéke $\displaystyle 1$, így az összegek abszolút értéke legfeljebb $\displaystyle 2019$ lehet. Ez tehát azt jelenti, hogy csak $\displaystyle -2019$ és $\displaystyle 2019$ közötti páratlan számokat kaphatunk összegként, ezek száma $\displaystyle 2020$.

Megmutatjuk, hogy van olyan kitöltés, aminél mind a $\displaystyle 2020$ lehetséges értéket megkapjuk.

Ha a főátlón (bal felső és jobb alsó mezőket tartalmazó átlón), és felette minden mezőbe $\displaystyle (+1)$-et írunk, a főátló alatt pedig mindenhova $\displaystyle (-1)$-et, akkor a sorösszegek rendre $\displaystyle 2019,~2017,\dots,-2017$, az oszlopösszegek pedig rendre $\displaystyle -2017,-2015,\dots,~2019$. Ezzel minden $\displaystyle -2019$ és $\displaystyle 2019$ közötti páratlan értéket megkapunk a $\displaystyle -2019$ kivételével.

Ha most a bal felső mezőbe írt értéket átváltoztatjuk $\displaystyle (-1)$-re, akkor csak az az első sorösszeg és az első oszlopösszeg változik meg, előbbi $\displaystyle 2019$-ről $\displaystyle 2017$-re, utóbbi pedig $\displaystyle -2017$-ről $\displaystyle -2019$-re. Mivel a $\displaystyle 2019$ és a $\displaystyle -2017$ szerepelt máshol is, az így kapott kitöltésnél már mind a $\displaystyle 2020$-féle értéket megkapjuk.

Tehát legfeljebb $\displaystyle 2020$-féle különböző számot kaphatunk (és ezek $\displaystyle -2019,-2017,\dots,~2019$), és van is olyan kitöltés, amikor ennyit kapunk.

Statisztika:

206 dolgozat érkezett.
3 pontot kapott:	143 versenyző.
2 pontot kapott:	22 versenyző.
1 pontot kapott:	30 versenyző.
0 pontot kapott:	9 versenyző.
Nem számítjuk a versenybe a születési dátum vagy a szülői nyilatkozat hiánya miatt:	2 dolgozat.

A KöMaL 2019. szeptemberi matematika feladatai