 |
A B. 5040. feladat (2019. szeptember) |
B. 5040. Legyen az \(\displaystyle ABCD\) négyzet \(\displaystyle AB\) oldalának belső pontja \(\displaystyle F\) és \(\displaystyle AD\) oldalának belső pontja \(\displaystyle E\). Az \(\displaystyle E\) pontban állítsunk merőlegest a \(\displaystyle CE\) egyenesre, az \(\displaystyle F\) pontban pedig állítsunk merőlegest a \(\displaystyle CF\) egyenesre. A két merőleges metszéspontja legyen \(\displaystyle M\). Tegyük fel, hogy a \(\displaystyle CEF\) háromszög területe fele a \(\displaystyle BCDEF\) ötszög területének. Igazoljuk, hogy az \(\displaystyle M\) pont rajta van a négyzet \(\displaystyle AC\) átlóján.
(4 pont)
A beküldési határidő 2019. október 10-én LEJÁRT.
Megoldás. Ha a \(\displaystyle CEF\) háromszög területe fele a \(\displaystyle BCDEF\) ötszögének, akkor \(\displaystyle T_{CEF} = T_{CDE} + T_{CFB}\).
Forgassuk el a négyzetünket a \(\displaystyle C\) pont körül \(\displaystyle 90^{\circ}\)-kal úgy, hogy a \(\displaystyle D\) pont képe a \(\displaystyle B\)-be kerüljön.
Mivel \(\displaystyle T_{CDE} = T_{CD'E'}\), ezért \(\displaystyle T_{CEF} = T_{CE'F}\). Másfelől a \(\displaystyle CEF\) háromszögnek és a \(\displaystyle CE'F\) háromszögnek a \(\displaystyle CF\) oldala közös, míg \(\displaystyle CE=CE'\). Emiatt a területük csak úgy lehet egyenlő, ha a két megfelelő oldal által közbezárt szög is egyenlő. Tehát a két háromszög egybevágó.
\(\displaystyle CEF \cong CE'F\) miatt \(\displaystyle CFE \sphericalangle = CFE' \sphericalangle\) és így \(\displaystyle CED \sphericalangle = CE'D' \sphericalangle = CEF \sphericalangle\), azaz a \(\displaystyle CE\) és a \(\displaystyle CF\) szakaszok felezik a \(\displaystyle DEF \sphericalangle\), illetve az \(\displaystyle EFB \sphericalangle\) szögeket, vagyis \(\displaystyle CE\) és \(\displaystyle CF\) az \(\displaystyle AFE\) háromszög megfelelő külső szögfelezői. Emiatt \(\displaystyle EM\) és \(\displaystyle FM\) belső szögfelezők az \(\displaystyle AFE\) háromszögben. Tehát \(\displaystyle M\) az \(\displaystyle AFE\)-be beírható kör középpontja, de akkor a harmadik belső szögfelező is átmegy rajta, és ez (mivel \(\displaystyle AEF \sphericalangle = 90^{\circ}\)) éppen az \(\displaystyle AC\) átló. Ezzel az állítást igazoltuk.
(Diszkusszió: Az \(\displaystyle E\), \(\displaystyle F\) pontok választása miatt (a terület feltétel miatt nincs elfajuló eset) nyilván előáll \(\displaystyle M\).)
Statisztika:
64 dolgozat érkezett. 4 pontot kapott: 52 versenyző. 3 pontot kapott: 2 versenyző. 2 pontot kapott: 2 versenyző. 1 pontot kapott: 5 versenyző. 0 pontot kapott: 1 versenyző. Nem versenyszerű: 2 dolgozat.
A KöMaL 2019. szeptemberi matematika feladatai