 |
A B. 5047. feladat (2019. október) |
B. 5047. Az \(\displaystyle ABC\) derékszögű háromszögben a \(\displaystyle D\) pont az \(\displaystyle AC\) befogó belsejében, az \(\displaystyle E\) pont az \(\displaystyle AB\) átfogó \(\displaystyle B\)-n túli meghosszabbításán helyezkedik el. Az \(\displaystyle ADE\) és a \(\displaystyle BCE\) kör második, \(\displaystyle E\)-től különböző metszéspontja \(\displaystyle F\). Mutassuk meg, hogy \(\displaystyle CFD\sphericalangle=90^\circ\).
(4 pont)
A beküldési határidő 2019. november 11-én LEJÁRT.
Megoldás. Először gondoljuk meg, hogy az \(\displaystyle F\) pont tényleg létezik, és csak az \(\displaystyle ABC\) háromszög belsejében lehet.
Jelöljük az \(\displaystyle ADE\) kört \(\displaystyle k_1\)-gyel, a \(\displaystyle BCE\) kört \(\displaystyle k_2\)-vel. Az \(\displaystyle B\) pont belső, a \(\displaystyle C\) pedig külső pontja \(\displaystyle k_1\)-nek, mert \(\displaystyle B\) a kör \(\displaystyle AE\) húrjának belsejében, \(\displaystyle C\) pedig az \(\displaystyle AD\) húr meghosszabításán fekszik. A \(\displaystyle k_2\) kör mindkét \(\displaystyle BC\) íve a \(\displaystyle k_1\)-nek egy belső és egy külső pontját köti össze, ezért mindkét \(\displaystyle BC\) ív elmetszi \(\displaystyle k_1\)-t; a két metszéspont \(\displaystyle E\) és \(\displaystyle F\). Ezek a \(\displaystyle BC\) egyenes két oldalán vannak; \(\displaystyle E\) az \(\displaystyle A\)-val ellentétes, \(\displaystyle F\) az \(\displaystyle A\)-val megegyező oldalon. A \(\displaystyle BECF\) egy konvex négyszög.
Mivel \(\displaystyle FCB\measuredangle = FEB\measuredangle < CEB\measuredangle < CBA\measuredangle < ACB\measuredangle\), a \(\displaystyle CF\) félegyenes az \(\displaystyle ACB\) szögtartományba esik. Hasonlóan, \(\displaystyle CBF\measuredangle = CEF\measuredangle < CEB\measuredangle < CBA\measuredangle\) miatt a \(\displaystyle BF\) félegyenes a \(\displaystyle CBA\) szögtartományban fekszik. A kettő metszéspontja, \(\displaystyle F\) az \(\displaystyle ABC\) háromsög belsejében van, így az \(\displaystyle ADFE\) húrnégyszög is konvex.
A két húrnégyszögben
\(\displaystyle FDC\measuredangle = 180^\circ-ADF\measuredangle = FEA\measuredangle = FEB\measuredangle = FCB\measuredangle = 90^\circ-DCF\measuredangle. \)
A \(\displaystyle CDF\) háromszög \(\displaystyle C\)-nél és \(\displaystyle D\)-nél fekvő szögeinek összege derékszög, tehát \(\displaystyle CFD\measuredangle\) is derékszög.
Megjegyzések. 1. A diszkusszió elkerülhető, ha irányított (modulo \(\displaystyle 180^\circ\)) szögekkel számolunk.
2. A feladatban szereplő elrendezés a Miquel-tétel egy határesete: ha \(\displaystyle ABC\) tetszőleges háromszög, \(\displaystyle G\), \(\displaystyle D\), \(\displaystyle E\) rendre a \(\displaystyle BC\), \(\displaystyle AC\), illetve az \(\displaystyle AB\) egyenesek egy-egy pontja, akkor az \(\displaystyle ADE\), \(\displaystyle BEG\) és \(\displaystyle CDG\) körök egy ponton mennek át. Esetünkben \(\displaystyle G\) egybeesik a \(\displaystyle C\) ponttal, ezért a \(\displaystyle CDG\) kör az a kör, amely átmegy \(\displaystyle C\)-n és \(\displaystyle D\)-n, és érinti a \(\displaystyle BC\) oldalt. A három kör közös pontja \(\displaystyle F\).
Statisztika:
83 dolgozat érkezett. 4 pontot kapott: 78 versenyző. 2 pontot kapott: 1 versenyző. 1 pontot kapott: 2 versenyző. 0 pontot kapott: 2 versenyző.
A KöMaL 2019. októberi matematika feladatai