A B. 5047. feladat (2019. október)

B. 5047. Az $\displaystyle ABC$ derékszögű háromszögben a $\displaystyle D$ pont az $\displaystyle AC$ befogó belsejében, az $\displaystyle E$ pont az $\displaystyle AB$ átfogó $\displaystyle B$-n túli meghosszabbításán helyezkedik el. Az $\displaystyle ADE$ és a $\displaystyle BCE$ kör második, $\displaystyle E$-től különböző metszéspontja $\displaystyle F$. Mutassuk meg, hogy $\displaystyle CFD\sphericalangle=90^\circ$.

(4 pont)

A beküldési határidő 2019. november 11-én LEJÁRT.

Megoldás. Először gondoljuk meg, hogy az $\displaystyle F$ pont tényleg létezik, és csak az $\displaystyle ABC$ háromszög belsejében lehet.

Jelöljük az $\displaystyle ADE$ kört $\displaystyle k_1$-gyel, a $\displaystyle BCE$ kört $\displaystyle k_2$-vel. Az $\displaystyle B$ pont belső, a $\displaystyle C$ pedig külső pontja $\displaystyle k_1$-nek, mert $\displaystyle B$ a kör $\displaystyle AE$ húrjának belsejében, $\displaystyle C$ pedig az $\displaystyle AD$ húr meghosszabításán fekszik. A $\displaystyle k_2$ kör mindkét $\displaystyle BC$ íve a $\displaystyle k_1$-nek egy belső és egy külső pontját köti össze, ezért mindkét $\displaystyle BC$ ív elmetszi $\displaystyle k_1$-t; a két metszéspont $\displaystyle E$ és $\displaystyle F$. Ezek a $\displaystyle BC$ egyenes két oldalán vannak; $\displaystyle E$ az $\displaystyle A$-val ellentétes, $\displaystyle F$ az $\displaystyle A$-val megegyező oldalon. A $\displaystyle BECF$ egy konvex négyszög.

Mivel $\displaystyle FCB\measuredangle = FEB\measuredangle < CEB\measuredangle < CBA\measuredangle < ACB\measuredangle$, a $\displaystyle CF$ félegyenes az $\displaystyle ACB$ szögtartományba esik. Hasonlóan, $\displaystyle CBF\measuredangle = CEF\measuredangle < CEB\measuredangle < CBA\measuredangle$ miatt a $\displaystyle BF$ félegyenes a $\displaystyle CBA$ szögtartományban fekszik. A kettő metszéspontja, $\displaystyle F$ az $\displaystyle ABC$ háromsög belsejében van, így az $\displaystyle ADFE$ húrnégyszög is konvex.

A két húrnégyszögben

$\displaystyle FDC\measuredangle = 180^\circ-ADF\measuredangle = FEA\measuredangle = FEB\measuredangle = FCB\measuredangle = 90^\circ-DCF\measuredangle.$

A $\displaystyle CDF$ háromszög $\displaystyle C$-nél és $\displaystyle D$-nél fekvő szögeinek összege derékszög, tehát $\displaystyle CFD\measuredangle$ is derékszög.

Megjegyzések. 1. A diszkusszió elkerülhető, ha irányított (modulo $\displaystyle 180^\circ$) szögekkel számolunk.

2. A feladatban szereplő elrendezés a Miquel-tétel egy határesete: ha $\displaystyle ABC$ tetszőleges háromszög, $\displaystyle G$, $\displaystyle D$, $\displaystyle E$ rendre a $\displaystyle BC$, $\displaystyle AC$, illetve az $\displaystyle AB$ egyenesek egy-egy pontja, akkor az $\displaystyle ADE$, $\displaystyle BEG$ és $\displaystyle CDG$ körök egy ponton mennek át. Esetünkben $\displaystyle G$ egybeesik a $\displaystyle C$ ponttal, ezért a $\displaystyle CDG$ kör az a kör, amely átmegy $\displaystyle C$-n és $\displaystyle D$-n, és érinti a $\displaystyle BC$ oldalt. A három kör közös pontja $\displaystyle F$.

Statisztika:

83 dolgozat érkezett.
4 pontot kapott:	78 versenyző.
2 pontot kapott:	1 versenyző.
1 pontot kapott:	2 versenyző.
0 pontot kapott:	2 versenyző.

A KöMaL 2019. októberi matematika feladatai