A B. 5048. feladat (2019. október)

B. 5048. Egy konvex sokszög alapú gúla oldallapjainak területe egyenlő. Válasszuk ki az alaplap egy tetszőleges pontját, majd tekintsük a pontnak az oldallapoktól vett távolságainak az összegét. Bizonyítsuk be, hogy ez az összeg nem függ a pont választásától.

(Horvát feladat)

(3 pont)

A beküldési határidő 2019. november 11-én LEJÁRT.

Megoldás. Legyen az oldallapok azonos területe $\displaystyle T$. Az alaplap egy tetszőleges pontját összekötve a háromszög alakú oldallapok csúcsaival olyan tetraédereket kapunk, amelyek hézag- és átfedésmentesen kitöltik a gúlát. A gúla térfogata legyen $\displaystyle V$, míg a kiválasztott pont távolsága az oldallapoktól rendre $\displaystyle d_1,d_2,...,d_n$. Ekkor a tetraéder térfogatára:

$\displaystyle V=\dfrac{d_1 \cdot T}{3} + \dfrac{d_2 \cdot T}{3} + ... +\dfrac{d_n \cdot T}{3} = \dfrac{(d_1+d_2 + ... + d_n) \cdot T}{3} \Rightarrow d_1+d_2 + ... + d_n = \dfrac{3V}{T}.$

Mivel $\displaystyle V$ és $\displaystyle T$ állandók, ezért a távolságok összege is állandó, azaz az összeg valóban nem függ a pont választásától.

Statisztika:

100 dolgozat érkezett.
3 pontot kapott:	86 versenyző.
2 pontot kapott:	7 versenyző.
1 pontot kapott:	2 versenyző.
0 pontot kapott:	5 versenyző.

A KöMaL 2019. októberi matematika feladatai