A B. 5050. feladat (2019. október)

B. 5050. Oldjuk meg a

$\displaystyle \cos3x+\cos^2x=0$

egyenletet.

(3 pont)

A beküldési határidő 2019. november 11-én LEJÁRT.

Megoldás. Az addíciós tételek ismételt alkalmazásával:

$\displaystyle \cos 3x=\cos x\cos2x-\sin x\sin2x=\cos x(\cos^2 x-\sin^2 x)-\sin x(2\sin x \cos x)=\cos^3 x-3\sin^2 x\cos x=4\cos^3 x-3\cos x.$

Ezt az egyenletbe behelyettesítve:

$\displaystyle 4\cos^3 x+\cos^2 x-3\cos x=0.$

Ez egy $\displaystyle z=\cos x$-ben harmadfokú egyenlet, aminek $\displaystyle z_1=0$ az egyik megoldása:

$\displaystyle 4z^3+z^2-3z=0,$

$\displaystyle z(4z^2+z-3)=0.$

A másik két megoldás: $\displaystyle z_{2,3}=\frac{-1\pm 7}{8}$, vagyis $\displaystyle z_2=-1$ és $\displaystyle z_3=\frac34$.

Így egy $\displaystyle x$ valós szám pontosan akkor megoldása az egyenletnek, ha $\displaystyle \cos x\in \{0,-1,\frac34 \}$. Ezek az $\displaystyle x$-ek a következő alakban állnak elő: $\displaystyle \frac{\pi}{2}+k\pi$, $\displaystyle \pi+2k\pi$, $\displaystyle \pm\arccos(3/4)+2k\pi$ (ahol $\displaystyle k$ mindhárom esetben tetszőleges egész szám).

Statisztika:

155 dolgozat érkezett.
3 pontot kapott:	96 versenyző.
2 pontot kapott:	33 versenyző.
1 pontot kapott:	20 versenyző.
0 pontot kapott:	6 versenyző.

A KöMaL 2019. októberi matematika feladatai