A B. 5051. feladat (2019. október)

B. 5051. Az \(\displaystyle ABCD\) négyszög oldalai \(\displaystyle AB=8\), \(\displaystyle BC=5\), \(\displaystyle CD=17\) és \(\displaystyle DA= 10\). Az \(\displaystyle AC\) és \(\displaystyle BD\) átlók metszéspontja \(\displaystyle E\), \(\displaystyle BE:ED=1:2\). Mekkora a négyszög területe?

Javasolta: Róka Sándor (Nyíregyháza)

(5 pont)

A beküldési határidő 2019. november 11-én LEJÁRT.

Megoldás. Legyen az \(\displaystyle AC\) átló hossza \(\displaystyle x\).

Mivel az átlók metszéspontja a \(\displaystyle BD\) átlót \(\displaystyle 1:2\) arányban osztja, ezért az \(\displaystyle AC\) oldalhoz tartozó magasság az \(\displaystyle ABC\) háromszögben feleakkora, mint az \(\displaystyle ACD\) háromszögben, tehát az \(\displaystyle ABC\) háromszög területe fele az \(\displaystyle ACD\) háromszög területének.

Írjuk fel a két háromszögre a Heron-képletet és használjuk fel, hogy \(\displaystyle 2\cdot T_{ABC} =T_{ACD}\):

\(\displaystyle 2\sqrt{\frac{13+x}{2}\cdot \frac{13-x}{2}\cdot \frac{x+3}{2}\cdot \frac{x-3}{2}}=\sqrt{\frac{27+x}{2}\cdot \frac{27-x}{2}\cdot \frac{x+7}{2}\cdot \frac{x-7}{2}}.\)

Négyzetre emelve és algebrai azonosságok felhasználása után:

\(\displaystyle 4(169-x^2)(x^2-9)=(729-x^2)(x^2-49),\)

majd rendezve:

\(\displaystyle x^4+22x^2-9879=0.\)

Az \(\displaystyle x^2\)-re másodfokú egyenlet egyetlen pozitív megoldása \(\displaystyle 89\). A négyszög területe:

\(\displaystyle T=3\cdot T_{ABC}=3\cdot \sqrt{\frac{(169-x^2)(x^2-9)}{16}}=3\cdot \sqrt{\frac{80\cdot 80}{16}}=60. \)

Az \(\displaystyle ABCD\) négyszög területe \(\displaystyle 60\) egység.

Statisztika:

78 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	59 versenyző.
4 pontot kapott:	6 versenyző.
3 pontot kapott:	2 versenyző.
2 pontot kapott:	3 versenyző.
1 pontot kapott:	1 versenyző.
0 pontot kapott:	5 versenyző.
Nem versenyszerű:	2 dolgozat.

A KöMaL 2019. októberi matematika feladatai