 |
A B. 5053. feladat (2019. október) |
B. 5053. Az \(\displaystyle ABCD\) tetraéder beírt gömbjét jelölje \(\displaystyle G\), a \(\displaystyle BCD\) laphoz írt gömbjét \(\displaystyle G_A\). A \(\displaystyle G\) lapsíkokon levő érintési pontjai által meghatározott tetraéder legyen \(\displaystyle T\), míg \(\displaystyle G_A\) lapsíkokon levő érintési pontjai által meghatározott tetraéder legyen \(\displaystyle T_A\). Mutassuk meg, hogy a gömbök és a tetraéderek térfogataira
\(\displaystyle \frac{V^3(T)}{V^3(T_A)}=\frac{V^2(G)}{V^2(G_A)}. \)
(6 pont)
A beküldési határidő 2019. november 11-én LEJÁRT.
Megoldás. Tekintsünk először egy hasznos lemmát bizonyítással együtt:
Az \(\displaystyle A\) és \(\displaystyle D\) pontokon át közös érintőket húzunk a körökhöz. Ekkor a piros szakaszok távolsága megegyezik a kék szakaszok távolságával.
[Ez a B. 5008. feladat, melynek egyik bizonyítása itt olvasható, további bizonyítások majd valamikor a nyomtatott lapban lesznek olvashatók. – Szerk.]
Ezt az inverzó távolságképletével fogjuk levezetni:
Legyenek \(\displaystyle AB = a\) , \(\displaystyle BD = b\) , \(\displaystyle DF = c\) szakaszhosszok, és legyen a \(\displaystyle B\) középpontú kör sugarának hossza 1, továbbá jelölje \(\displaystyle x\) a másik kör sugarának hosszát.
Ekkor az \(\displaystyle x = \frac{a+b+c}{a} = \frac{c}{b} \) arányok adódnak a külső és a belső hasonlósági pont tulajdonságai miatt.
Az igazolandó állítás megfogalmazható az alábbi módon:
\(\displaystyle \frac{1}{a} + \frac{1}{b} = \frac{x^2}{c} - \frac{x^2}{a+b+c},\)
\(\displaystyle \frac{a + b}{ab} = x^2\Bigg(\frac{a+b+c-c}{c(a+b+c)}\Bigg),\)
\(\displaystyle \frac{1}{ab} = x^2\Bigg(\frac{1}{c(a+b+c)}\Bigg),\)
\(\displaystyle \frac{(a+b+c)c}{ab} = x^2 = \Bigg( \frac{a+b+c}{a} \cdot \frac{c}{b}\Bigg).\)
Mivel ekvivalens átalakításokat végeztünk, ezért a hasznos lemmát igazoltuk.
Legyen az \(\displaystyle \frac{r(G_A)}{r(G)} = x\) arány a gömbök sugarainak aránya. Ekkor a térfogatképlet alapján: \(\displaystyle V(gömb) = \frac{4\pi}{3}r(gömb)^3\), vagyis egy gömb térfogata a sugarának 3. hatványával arányos. Így a térfogatok arányának négyzete \(\displaystyle \frac{V^2(G_A)}{V^2(G)} = x^6\).
Tehát már csak azt kell igazolni, hogy \(\displaystyle \frac{V(T_A)}{V(T)} = x^2\). A \(\displaystyle BCD\) síkkal vett érintési pontokat figyelmen kívül hagyva azt látjuk, hogy a tetraéderek alapjai \(\displaystyle A\)-ból egy nagyítással egymásba vihetők, tehát párhuzamosak is. Ez a nagyítás pedig éppen a gömböket egymásba vivő (\(\displaystyle A\) középpontú) nagyítás. Mivel a sugarak aránya \(\displaystyle x\), ezért az alapok területeinek aránya \(\displaystyle x^2\) lesz, vagyis a magasságoknak meg kell egyezniük.
Most tekintsük a \(\displaystyle BCD\) síkon lévő érintési pontok és a két gömb közös tengelye által meghatározott síkmetszetet: a közös tengelyre tükrözve a \(\displaystyle BCD\) metszetét megkapjuk a két kör közös belső érintőit. A közös külső érintők pedig a nagyítás miatt átmennek \(\displaystyle A\)-n. Így tehát visszavezettük a hasznos lemmára az állítást, hiszen a tetraéder alapjainak síkmetszete egy piros és egy zöld szakasz egyenese lesz, míg a \(\displaystyle BCD\)-vel vett érintési pontok a másik két színes egyenesen mozognak. A hasznos lemma alapján a két magasság egyenlő, a tetraéder térfogata pedig a \(\displaystyle V = \frac{1}{3}[alap][magasság]\) képlettel adott, így lineárisan függ az alap területétől.
Nagy Nándor, 12. o. t. (Budapesti Fazekas M . Gyak. Ált. Isk. és Gimn.)
Statisztika:
14 dolgozat érkezett. 6 pontot kapott: Beke Csongor, Hervay Bence, Nagy Nándor. 5 pontot kapott: Fekete Richárd. 4 pontot kapott: 1 versenyző. 2 pontot kapott: 1 versenyző. 1 pontot kapott: 6 versenyző. 0 pontot kapott: 2 versenyző.
A KöMaL 2019. októberi matematika feladatai