A B. 5054. feladat (2019. november)

B. 5054. Vannak-e olyan $\displaystyle n$ és $\displaystyle k$ pozitív egész számok, amelyekre

$\displaystyle 20^k+19^k=2019^n-10^n?$

Javasolta: Imre Tamás (Marosvásárhely)

(4 pont)

A beküldési határidő 2019. december 10-én LEJÁRT.

Megoldás. Megmutatjuk, hogy nincsenek ilyen $\displaystyle n$ és $\displaystyle k$ pozitív egész számok, sőt, a bal és a jobb oldalon álló kifejezés 7-es maradéka semmilyen $\displaystyle n,k$ esetén nem egyezik.

Mivel $\displaystyle 2019=288\cdot 7+3$ és $\displaystyle 10=1\cdot 7+3$ számok 7-es maradéka egyaránt 3, ezért mind a $\displaystyle 2019^n$, mind a $\displaystyle 10^n$ szám 7-es maradéka annyi, mint $\displaystyle 3^n$ szám 7-es maradéka, következésképpen különbségük, vagyis a jobb oldalon álló kifejezés 7-tel osztható. (Ugyanerre egy másik lehetséges indoklás: $\displaystyle (2019-10)\mid(2019^n-10^n)$ és $\displaystyle 2019-10=2009=7\cdot 287$.)

Most vizsgáljuk az egyenlet bal oldalán lévő kifejezést. Mivel $\displaystyle 20=3\cdot 7-1$ és $\displaystyle 19=3\cdot7-2$, ezért $\displaystyle 20^k+19^k$ ugyanannyi maradékot ad 7-tel osztva, mint $\displaystyle (-1)^k+(-2)^k=(-1)^k(1+2^k)$. Tehát a bal oldalon álló kifejezés csak úgy lehetne 7-tel osztható, ha $\displaystyle 7\mid 2^k+1$ teljesülne. A 2-hatványok 7-es maradéka $\displaystyle 1,2,4$, majd innen ciklikusan ismétlődik, hiszen a 8 maradéka ismét 1. Ez azt is jelenti, hogy $\displaystyle 2^k+1$ lehetséges 7-es maradéka $\displaystyle 2,3,5$, vagyis biztosan nem osztható 7-tel. Így $\displaystyle 7\nmid 20^k+19^k$.

Tehát minden pozitív egész $\displaystyle n,k$ szám esetén $\displaystyle 7\nmid 20^k+19^k$ és $\displaystyle 7\mid 2019^n-10^n$, ezért nincs olyan $\displaystyle n,k$, melyekre a $\displaystyle 20^k+19^k=2019^n-10^n$ egyenlet teljesülne.

Statisztika:

99 dolgozat érkezett.
4 pontot kapott:	92 versenyző.
3 pontot kapott:	2 versenyző.
2 pontot kapott:	3 versenyző.
1 pontot kapott:	1 versenyző.
0 pontot kapott:	1 versenyző.

A KöMaL 2019. novemberi matematika feladatai