 |
A B. 5054. feladat (2019. november) |
B. 5054. Vannak-e olyan \(\displaystyle n\) és \(\displaystyle k\) pozitív egész számok, amelyekre
\(\displaystyle 20^k+19^k=2019^n-10^n? \)
Javasolta: Imre Tamás (Marosvásárhely)
(4 pont)
A beküldési határidő 2019. december 10-én LEJÁRT.
Megoldás. Megmutatjuk, hogy nincsenek ilyen \(\displaystyle n\) és \(\displaystyle k\) pozitív egész számok, sőt, a bal és a jobb oldalon álló kifejezés 7-es maradéka semmilyen \(\displaystyle n,k\) esetén nem egyezik.
Mivel \(\displaystyle 2019=288\cdot 7+3\) és \(\displaystyle 10=1\cdot 7+3\) számok 7-es maradéka egyaránt 3, ezért mind a \(\displaystyle 2019^n\), mind a \(\displaystyle 10^n\) szám 7-es maradéka annyi, mint \(\displaystyle 3^n\) szám 7-es maradéka, következésképpen különbségük, vagyis a jobb oldalon álló kifejezés 7-tel osztható. (Ugyanerre egy másik lehetséges indoklás: \(\displaystyle (2019-10)\mid(2019^n-10^n)\) és \(\displaystyle 2019-10=2009=7\cdot 287\).)
Most vizsgáljuk az egyenlet bal oldalán lévő kifejezést. Mivel \(\displaystyle 20=3\cdot 7-1\) és \(\displaystyle 19=3\cdot7-2\), ezért \(\displaystyle 20^k+19^k\) ugyanannyi maradékot ad 7-tel osztva, mint \(\displaystyle (-1)^k+(-2)^k=(-1)^k(1+2^k)\). Tehát a bal oldalon álló kifejezés csak úgy lehetne 7-tel osztható, ha \(\displaystyle 7\mid 2^k+1\) teljesülne. A 2-hatványok 7-es maradéka \(\displaystyle 1,2,4\), majd innen ciklikusan ismétlődik, hiszen a 8 maradéka ismét 1. Ez azt is jelenti, hogy \(\displaystyle 2^k+1\) lehetséges 7-es maradéka \(\displaystyle 2,3,5\), vagyis biztosan nem osztható 7-tel. Így \(\displaystyle 7\nmid 20^k+19^k\).
Tehát minden pozitív egész \(\displaystyle n,k\) szám esetén \(\displaystyle 7\nmid 20^k+19^k\) és \(\displaystyle 7\mid 2019^n-10^n\), ezért nincs olyan \(\displaystyle n,k\), melyekre a \(\displaystyle 20^k+19^k=2019^n-10^n\) egyenlet teljesülne.
Statisztika:
99 dolgozat érkezett. 4 pontot kapott: 92 versenyző. 3 pontot kapott: 2 versenyző. 2 pontot kapott: 3 versenyző. 1 pontot kapott: 1 versenyző. 0 pontot kapott: 1 versenyző.
A KöMaL 2019. novemberi matematika feladatai