 |
A B. 5055. feladat (2019. november) |
B. 5055. Adott a síkon a k kör. Mi azon háromszögek magasságpontjainak mértani helye, amelyeknek k a körülírt köre?
(3 pont)
A beküldési határidő 2019. december 10-én LEJÁRT.
Megoldás. Legyen az adott k kör középpontja a K pont, sugara r. Azt állítjuk, hogy a mértani hely egy K középpontú 3r sugarú nyílt körlap. Ennek bizonyításához irányítsunk a K pontból a háromszög csúcsaiba vektorokat. Ismert, hogy e három vektor összege a háromszög magasságpontjába mutat. Mivel mindegyik vektor hossza éppen r, az összegvektor hossza legfeljebb 3r, továbbá nem eshetnek a csúcsok egybe, így mindenképpen a 3r sugarú kör belső pontjához jutunk. Másrészt meg kell még mutatnunk, hogy a nyílt körlap bármely pontja lehet egy megfelelő háromszög magasságpontja. Ha ez a pont a K pont, akkor a háromszög szabályos. Ha egy K-tól különböző pont az M magasságpont, akkor vegyük a KM félegyenest és mérjünk fel erre K-tól kezdve egy r hosszúságú vektort.
Ennek a csúcsa legyen a háromszög A csúcsa. Ezután az AM szakaszra, mint alapra szerkesszünk egy egyenlő szárú háromszöget, amelynek szárai r hosszúságúak, a szárak közös végpontja pedig legyen a P pont. A P pont biztosan létezik, mert az AM szakasz hossza kisebb 2r-nél. Az →AP és a →PM vektorokat a K pontból felmérve a két vektor csúcsa legyen a B, illetve a C pont. Így egy olyan ABC háromszöget adtunk meg, amelynek magasságpontja éppen az M pont.
Statisztika:
97 dolgozat érkezett. 3 pontot kapott: 58 versenyző. 2 pontot kapott: 17 versenyző. 1 pontot kapott: 17 versenyző. 0 pontot kapott: 5 versenyző.
A KöMaL 2019. novemberi matematika feladatai
|
|