A B. 5056. feladat (2019. november)

B. 5056. Tekintsük a valós számok halmazán értelmezett $\displaystyle f(x)=x^2+bx+c$ másodfokú függvényt. Tudjuk, hogy $\displaystyle f$ zérushelyei a $\displaystyle p$ és $\displaystyle q$ különböző prímszámok, továbbá $\displaystyle f(p-q)=6pq$. Határozzuk meg a $\displaystyle p$ és $\displaystyle q$ prímszámokat, valamint írjuk fel az $\displaystyle f$ függvényt.

Javasolta: Bíró Bálint (Eger)

(3 pont)

A beküldési határidő 2019. december 10-én LEJÁRT.

Az $\displaystyle f(x)$ polinom főegyütthatója 1, gyökei pedig $\displaystyle p$ és $\displaystyle q$, így $\displaystyle f(x)=(x-p)(x-q)$. Mivel $\displaystyle f(p-q)=6pq$, ezért

$\displaystyle (p-q-p)(p-q-q)=6pq,$

vagyis

$\displaystyle -q(p-2q)=6pq.$

Mivel $\displaystyle q\ne 0$ (hiszen prímszám), ezért ekvivalens lépés a $\displaystyle q$-val való osztás:

$\displaystyle -(p-2q)=6p,$

amiből $\displaystyle 2q=7p$. Mivel $\displaystyle p$ és $\displaystyle q$ prímszámok, ezért $\displaystyle p=2,q=7$. Ezek alapján pedig $\displaystyle f(x)=(x-2)(x-7)=x^2-9x+14$.

(Ha negatív prímszámokat is megengedünk, akkor $\displaystyle p=-2,q=-7$ is lehet, ekkor $\displaystyle f(x)=(x+2)(x+7)=x^2+9x+14$.)

Statisztika:

127 dolgozat érkezett.
3 pontot kapott:	107 versenyző.
2 pontot kapott:	17 versenyző.
1 pontot kapott:	3 versenyző.

A KöMaL 2019. novemberi matematika feladatai