A B. 5056. feladat (2019. november)

B. 5056. Tekintsük a valós számok halmazán értelmezett \(\displaystyle f(x)=x^2+bx+c\) másodfokú függvényt. Tudjuk, hogy \(\displaystyle f\) zérushelyei a \(\displaystyle p\) és \(\displaystyle q\) különböző prímszámok, továbbá \(\displaystyle f(p-q)=6pq\). Határozzuk meg a \(\displaystyle p\) és \(\displaystyle q\) prímszámokat, valamint írjuk fel az \(\displaystyle f\) függvényt.

Javasolta: Bíró Bálint (Eger)

(3 pont)

A beküldési határidő 2019. december 10-én LEJÁRT.

Az \(\displaystyle f(x)\) polinom főegyütthatója 1, gyökei pedig \(\displaystyle p\) és \(\displaystyle q\), így \(\displaystyle f(x)=(x-p)(x-q)\). Mivel \(\displaystyle f(p-q)=6pq\), ezért

\(\displaystyle (p-q-p)(p-q-q)=6pq,\)

vagyis

\(\displaystyle -q(p-2q)=6pq.\)

Mivel \(\displaystyle q\ne 0\) (hiszen prímszám), ezért ekvivalens lépés a \(\displaystyle q\)-val való osztás:

\(\displaystyle -(p-2q)=6p,\)

amiből \(\displaystyle 2q=7p\). Mivel \(\displaystyle p\) és \(\displaystyle q\) prímszámok, ezért \(\displaystyle p=2,q=7\). Ezek alapján pedig \(\displaystyle f(x)=(x-2)(x-7)=x^2-9x+14\).

(Ha negatív prímszámokat is megengedünk, akkor \(\displaystyle p=-2,q=-7\) is lehet, ekkor \(\displaystyle f(x)=(x+2)(x+7)=x^2+9x+14\).)

Statisztika:

127 dolgozat érkezett.
3 pontot kapott:	107 versenyző.
2 pontot kapott:	17 versenyző.
1 pontot kapott:	3 versenyző.

A KöMaL 2019. novemberi matematika feladatai