A B. 5058. feladat (2019. november)

B. 5058. Az $\displaystyle ABC$ háromszög belsejében vegyünk fel egy tetszőleges $\displaystyle P$ pontot. Az $\displaystyle AP$, $\displaystyle BP$ és $\displaystyle CP$ egyenesek a $\displaystyle BC$, $\displaystyle AC$, illetve $\displaystyle AB$ oldalakat rendre $\displaystyle A_1$, $\displaystyle B_1$ és $\displaystyle C_1$ pontokban metszik. Igazoljuk, hogy

$\displaystyle \frac{AP}{A_1P}\cdot\frac{BP}{B_1P}\cdot\frac{CP}{C_1P}\ge 8.$

Javasolta: Németh László (Fonyód)

(4 pont)

A beküldési határidő 2019. december 10-én LEJÁRT.

Megoldás. A $\displaystyle PBC$, $\displaystyle PCA$, $\displaystyle PBA$ háromszögek területe legyen rendre $\displaystyle a$, $\displaystyle b$, illetve $\displaystyle c$. Az $\displaystyle ABC$ és a $\displaystyle PBC$ háromszög $\displaystyle BC$ oldala közös, az ehhez tartozó magasságok párhuzamosak, arányuk a párhuzamos szelők tétele miatt $\displaystyle A_1A:A_1P$. Ezért

$\displaystyle \frac{A_1A}{A_1P} = \frac{T_{ABC}}{T_{PBC}}.$

Figyelembe véve, hogy $\displaystyle A_1A=A_1P+AP$, $\displaystyle T_{PBC}=a$ és $\displaystyle T_{ABC}=a+b+c$,

$\displaystyle \frac{A_1P+AP}{A_1P} = \frac{a+b+c}{a};$

mindkét oldalból $\displaystyle 1$-et kivonva

$\displaystyle \frac{AP}{A_1P} = \frac{b+c}{a}.$

A betűzés ciklikus cseréjével, ugyanígy kapjuk, hogy

$\displaystyle \frac{BP}{B_1P} = \frac{c+a}{b} \quad\text{és}\quad \frac{CP}{C_1P} = \frac{a+b}{c}.$

A kapott azonosságokat behelyettesítve, a feladat állítása a következő egyenlőtlenséggel ekvivalens:

Az (1) egyenlőtlenséget úgy igazoljuk, hogy a baloldalon mindhárom tört számlálóját alulról becsüljük a számtani és mértani közepek közötti egyenlőtlenséggel:

$\displaystyle \frac{b+c}{a} \cdot \frac{c+a}{b} \cdot \frac{a+b}{c} \ge \frac{2\sqrt{bc}}{a} \cdot \frac{2\sqrt{ca}}{b} \cdot \frac{2\sqrt{ab}}{c} = 8.$

A becslésünkben akkor áll egyenlőség, ha mindhárom esetben egymással egyenlő számok közepeit hasonlítjuk össze, vagyis ha $\displaystyle a=b=c$. Szintén a területek arányaiból látjuk, hogy

$\displaystyle \frac{a}{b} = \frac{T_{PBC}}{T_{PCA}} = \frac{BC_1}{C_1A};$

az $\displaystyle a=b$ feltétel tehát akkor teljesül, ha $\displaystyle C_1$ az $\displaystyle AB$ oldal felezőpontja. Ugyanígy, $\displaystyle a=c$ és $\displaystyle b=c$ akkor teljesül, ha $\displaystyle B_1$ az $\displaystyle AC$, illetve ha $\displaystyle A_1$ a $\displaystyle BC$ oldal felezőpontja. A feladat állításában tehát akkor áll egyenlőség, ha $\displaystyle P$ az $\displaystyle ABC$ háromszög súlypontja.

Statisztika:

67 dolgozat érkezett.
4 pontot kapott:	62 versenyző.
2 pontot kapott:	1 versenyző.
1 pontot kapott:	3 versenyző.
0 pontot kapott:	1 versenyző.

A KöMaL 2019. novemberi matematika feladatai