A B. 5060. feladat (2019. november)

B. 5060. Adott a \(\displaystyle \Sigma\) síkon egy \(\displaystyle k\) körvonal, és a belsejében egy \(\displaystyle P\) pont, amely nem esik egybe \(\displaystyle k\) középpontjával. Nevezzük a tér egy \(\displaystyle \Sigma\)-ra nem illeszkedő \(\displaystyle O\) pontját jó vetítő középpontnak, ha létezik olyan, \(\displaystyle O\)-ra nem illeszkedő \(\displaystyle \Sigma'\) sík, hogy a \(\displaystyle \Sigma\) pontjait \(\displaystyle O\)-ból \(\displaystyle \Sigma'\)-re vetítve a \(\displaystyle k\) kör vetülete szintén körvonal, és ennek a körvonalnak a középpontja \(\displaystyle P\) vetülete. Mutassuk meg, hogy a jó vetítő középpontok egy körön vannak.

(6 pont)

A beküldési határidő 2019. december 10-én LEJÁRT.

Megoldás. Tekintsünk egy tetszőleges \(\displaystyle O\) pontot, amely jó vetítő középpont, és tegyük fel, hogy a \(\displaystyle k\) kör az \(\displaystyle O\) pontból egy \(\displaystyle k'\) körbe vetíthető úgy, hogy \(\displaystyle K\) képe, \(\displaystyle K'\) éppen \(\displaystyle k'\) középpontja. Vetítsük \(\displaystyle O\)-ból tovább \(\displaystyle k'\)-t abba a síkba, amely átmegy a \(\displaystyle K\) ponton, és párhuzamos \(\displaystyle k'\) síkjával; ez a harmadik kör legyen \(\displaystyle k_1\). A síkok párhuzamossága miatt \(\displaystyle k_1\) középpontja \(\displaystyle K\). A továbbiakban a \(\displaystyle k\) síkjában bármely \(\displaystyle X\) pontjának képeit a két vetítés során \(\displaystyle X'\)-vel, illetve \(\displaystyle X_1\)-gyel fogjuk jelölni, és csak az \(\displaystyle X\mapsto X_1\) megfeleltetést fogjuk vizsgálni; "az \(\displaystyle X\) pont képének" az \(\displaystyle X_1\) pontot fogjuk hívni.

Vegyük észre, hogy \(\displaystyle k\) és \(\displaystyle k_1\) nem lehet ugyanaz a körvonal, és emiatt nem lehet ugyanabban a síkban sem, mert a \(\displaystyle K\) pont \(\displaystyle k_1\)-nek középpontja, \(\displaystyle k\)-nak pedig nem középpontja. Azok a pontok, amelyek önmaguk képei (az \(\displaystyle X\mapsto X_1\) megfeleltetés "fixpontjai"), a két kör síkjának közös pontjai, tehát egy egyenesen vannak. Egy konkrét fixpont a \(\displaystyle K\) pont a \(\displaystyle k\) kör belsejében, tehát a két sík metszésvolala elmetszi a \(\displaystyle k\) körvonalat is; a két metszéspontjuk legyen \(\displaystyle A\) és \(\displaystyle B\). Ekkor tehát \(\displaystyle A\) és \(\displaystyle B\) is fixpont, így \(\displaystyle A_1=A\) és \(\displaystyle B_1=B\) a \(\displaystyle k_1\) körön is rajta van. A \(\displaystyle k_1\) körben az \(\displaystyle AB\) húr átmérő, ezért \(\displaystyle K\) felezi az \(\displaystyle AB\) szakaszt. A \(\displaystyle k\) körben viszont legfeljebb egy olyan húr lehet, amelyet a \(\displaystyle K\) pont felez. Ezért az \(\displaystyle AB\) húr nem függ attól, hogy melyik \(\displaystyle O\) pontot választottuk.

Jelöljük a két körvonalra illeszkedő gömböt \(\displaystyle \mathcal{G}\)-vel. Bármely, az \(\displaystyle A\)-tól és \(\displaystyle B\)-től különböző \(\displaystyle X\) pontra \(\displaystyle OX\cdot OX_1\) az \(\displaystyle O\) pontnak a \(\displaystyle \mathcal{G}\)-re vonatkozó hatványa, állandó. Tehát az \(\displaystyle X\mapsto X_1\) megfeleltetés egy \(\displaystyle O\) pólusú inverzió. Az \(\displaystyle X\to A,B\) határátmenetekből látjuk, hogy \(\displaystyle OA^2=OA\cdot OA_1=OB\cdot OB_1=OB^2\), vagyis \(\displaystyle OA=OB\). Az \(\displaystyle O\) pont csak az \(\displaystyle AB\) szakasz felező merőleges síkjában lehet.

Legyen \(\displaystyle k_1\)-nek az \(\displaystyle AB\)-re merőleges átmérője \(\displaystyle CD\), ennek képe, \(\displaystyle C_1D_1\) a \(\displaystyle k_1\) körben átmérő. Mivel \(\displaystyle k\) és az \(\displaystyle AB\) húr rögzített, a \(\displaystyle CD\) húr sem függ az \(\displaystyle O\) ponttól. Legyen tehát \(\displaystyle C\) és \(\displaystyle D\) is rögzített; legyen \(\displaystyle KC=c\) és \(\displaystyle KD=d\). A vetítés és inverzió miatt \(\displaystyle O,C,C_1\), illetve \(\displaystyle O,D,D_1\) egy egyenesen van. Legyen \(\displaystyle CD_1\) és \(\displaystyle DC_1\) metszéspontja \(\displaystyle U\), a \(\displaystyle CD\) és az \(\displaystyle OU\) egyenes metszéspontja \(\displaystyle L\). Az inverzió miatt a \(\displaystyle C,D,C_1,D_1\) pontok egy körön vannak és \(\displaystyle KC_1=KD_1\); a \(\displaystyle K\) pontnak a \(\displaystyle CDC_1D_1\) körre vonatkozó hatványából kapjuk, hogy \(\displaystyle KC_1=KD_1=\sqrt{KC\cdot KD}=\sqrt{cd}\).

Számítsuk ki a \(\displaystyle \frac{C_1D}{DU}\) arányt úgy, hogy a Menelaosz-tételt felírjuk a \(\displaystyle C_1KD\) háromszögre és a \(\displaystyle CD_1U\) egyenesre:

Hasonlóan, ha a \(\displaystyle D_1DK\) háromszögre írjuk fel a Menelaosz-tételt, azt kapjuk, hogy \(\displaystyle \frac{D_1D}{DO} = \frac{c-d}{c+d}\). A \(\displaystyle C_1D_1D\) és az \(\displaystyle UDO\) hármszögek egy \(\displaystyle D\) középpontú, \(\displaystyle -\frac{c+d}{c-d}\) arányú nagyítással vihetők át egymásba. A \(\displaystyle K\) képe, az \(\displaystyle L\) pont, az \(\displaystyle OU\) szakasz felezőpontja, amit a \(\displaystyle C,D,K\) pontok egyértelműen meghatároznak, továbbá \(\displaystyle |LO|=\frac{c+d}{|c-d|}\cdot|KD_1|=\frac{c+d}{|c-d|}\sqrt{cd}\).

Azt kaptuk, hogy az \(\displaystyle AB\) szakasz és az \(\displaystyle L\) pont bármelyik jó vetítési középpont esetén ugyanaz, a vetítési középpont az \(\displaystyle AB\) szakasz felező merőleges síkjában van, egy \(\displaystyle L\) középpontú, \(\displaystyle \frac{c+d}{|c-d|}\sqrt{cd}\) sugarú körön.

Megjegyzés. Könnyű meggondolni, hogy a kapott körnek két pontja a \(\displaystyle k\) kör síkjában van, ezért nem lehet vetítési középpont, de a körvonal többi pontja mind megfelelő.

Statisztika:

8 dolgozat érkezett.
6 pontot kapott:	Beke Csongor.
5 pontot kapott:	Fleiner Zsigmond.
4 pontot kapott:	2 versenyző.
3 pontot kapott:	1 versenyző.
0 pontot kapott:	3 versenyző.

A KöMaL 2019. novemberi matematika feladatai