A B. 5060. feladat (2019. november)

B. 5060. Adott a $\displaystyle \Sigma$ síkon egy $\displaystyle k$ körvonal, és a belsejében egy $\displaystyle P$ pont, amely nem esik egybe $\displaystyle k$ középpontjával. Nevezzük a tér egy $\displaystyle \Sigma$-ra nem illeszkedő $\displaystyle O$ pontját jó vetítő középpontnak, ha létezik olyan, $\displaystyle O$-ra nem illeszkedő $\displaystyle \Sigma'$ sík, hogy a $\displaystyle \Sigma$ pontjait $\displaystyle O$-ból $\displaystyle \Sigma'$-re vetítve a $\displaystyle k$ kör vetülete szintén körvonal, és ennek a körvonalnak a középpontja $\displaystyle P$ vetülete. Mutassuk meg, hogy a jó vetítő középpontok egy körön vannak.

(6 pont)

A beküldési határidő 2019. december 10-én LEJÁRT.

Megoldás. Tekintsünk egy tetszőleges $\displaystyle O$ pontot, amely jó vetítő középpont, és tegyük fel, hogy a $\displaystyle k$ kör az $\displaystyle O$ pontból egy $\displaystyle k'$ körbe vetíthető úgy, hogy $\displaystyle K$ képe, $\displaystyle K'$ éppen $\displaystyle k'$ középpontja. Vetítsük $\displaystyle O$-ból tovább $\displaystyle k'$-t abba a síkba, amely átmegy a $\displaystyle K$ ponton, és párhuzamos $\displaystyle k'$ síkjával; ez a harmadik kör legyen $\displaystyle k_1$. A síkok párhuzamossága miatt $\displaystyle k_1$ középpontja $\displaystyle K$. A továbbiakban a $\displaystyle k$ síkjában bármely $\displaystyle X$ pontjának képeit a két vetítés során $\displaystyle X'$-vel, illetve $\displaystyle X_1$-gyel fogjuk jelölni, és csak az $\displaystyle X\mapsto X_1$ megfeleltetést fogjuk vizsgálni; "az $\displaystyle X$ pont képének" az $\displaystyle X_1$ pontot fogjuk hívni.

Vegyük észre, hogy $\displaystyle k$ és $\displaystyle k_1$ nem lehet ugyanaz a körvonal, és emiatt nem lehet ugyanabban a síkban sem, mert a $\displaystyle K$ pont $\displaystyle k_1$-nek középpontja, $\displaystyle k$-nak pedig nem középpontja. Azok a pontok, amelyek önmaguk képei (az $\displaystyle X\mapsto X_1$ megfeleltetés "fixpontjai"), a két kör síkjának közös pontjai, tehát egy egyenesen vannak. Egy konkrét fixpont a $\displaystyle K$ pont a $\displaystyle k$ kör belsejében, tehát a két sík metszésvolala elmetszi a $\displaystyle k$ körvonalat is; a két metszéspontjuk legyen $\displaystyle A$ és $\displaystyle B$. Ekkor tehát $\displaystyle A$ és $\displaystyle B$ is fixpont, így $\displaystyle A_1=A$ és $\displaystyle B_1=B$ a $\displaystyle k_1$ körön is rajta van. A $\displaystyle k_1$ körben az $\displaystyle AB$ húr átmérő, ezért $\displaystyle K$ felezi az $\displaystyle AB$ szakaszt. A $\displaystyle k$ körben viszont legfeljebb egy olyan húr lehet, amelyet a $\displaystyle K$ pont felez. Ezért az $\displaystyle AB$ húr nem függ attól, hogy melyik $\displaystyle O$ pontot választottuk.

Jelöljük a két körvonalra illeszkedő gömböt $\displaystyle \mathcal{G}$-vel. Bármely, az $\displaystyle A$-tól és $\displaystyle B$-től különböző $\displaystyle X$ pontra $\displaystyle OX\cdot OX_1$ az $\displaystyle O$ pontnak a $\displaystyle \mathcal{G}$-re vonatkozó hatványa, állandó. Tehát az $\displaystyle X\mapsto X_1$ megfeleltetés egy $\displaystyle O$ pólusú inverzió. Az $\displaystyle X\to A,B$ határátmenetekből látjuk, hogy $\displaystyle OA^2=OA\cdot OA_1=OB\cdot OB_1=OB^2$, vagyis $\displaystyle OA=OB$. Az $\displaystyle O$ pont csak az $\displaystyle AB$ szakasz felező merőleges síkjában lehet.

Legyen $\displaystyle k_1$-nek az $\displaystyle AB$-re merőleges átmérője $\displaystyle CD$, ennek képe, $\displaystyle C_1D_1$ a $\displaystyle k_1$ körben átmérő. Mivel $\displaystyle k$ és az $\displaystyle AB$ húr rögzített, a $\displaystyle CD$ húr sem függ az $\displaystyle O$ ponttól. Legyen tehát $\displaystyle C$ és $\displaystyle D$ is rögzített; legyen $\displaystyle KC=c$ és $\displaystyle KD=d$. A vetítés és inverzió miatt $\displaystyle O,C,C_1$, illetve $\displaystyle O,D,D_1$ egy egyenesen van. Legyen $\displaystyle CD_1$ és $\displaystyle DC_1$ metszéspontja $\displaystyle U$, a $\displaystyle CD$ és az $\displaystyle OU$ egyenes metszéspontja $\displaystyle L$. Az inverzió miatt a $\displaystyle C,D,C_1,D_1$ pontok egy körön vannak és $\displaystyle KC_1=KD_1$; a $\displaystyle K$ pontnak a $\displaystyle CDC_1D_1$ körre vonatkozó hatványából kapjuk, hogy $\displaystyle KC_1=KD_1=\sqrt{KC\cdot KD}=\sqrt{cd}$.

Számítsuk ki a $\displaystyle \frac{C_1D}{DU}$ arányt úgy, hogy a Menelaosz-tételt felírjuk a $\displaystyle C_1KD$ háromszögre és a $\displaystyle CD_1U$ egyenesre:

Hasonlóan, ha a $\displaystyle D_1DK$ háromszögre írjuk fel a Menelaosz-tételt, azt kapjuk, hogy $\displaystyle \frac{D_1D}{DO} = \frac{c-d}{c+d}$. A $\displaystyle C_1D_1D$ és az $\displaystyle UDO$ hármszögek egy $\displaystyle D$ középpontú, $\displaystyle -\frac{c+d}{c-d}$ arányú nagyítással vihetők át egymásba. A $\displaystyle K$ képe, az $\displaystyle L$ pont, az $\displaystyle OU$ szakasz felezőpontja, amit a $\displaystyle C,D,K$ pontok egyértelműen meghatároznak, továbbá $\displaystyle |LO|=\frac{c+d}{|c-d|}\cdot|KD_1|=\frac{c+d}{|c-d|}\sqrt{cd}$.

Azt kaptuk, hogy az $\displaystyle AB$ szakasz és az $\displaystyle L$ pont bármelyik jó vetítési középpont esetén ugyanaz, a vetítési középpont az $\displaystyle AB$ szakasz felező merőleges síkjában van, egy $\displaystyle L$ középpontú, $\displaystyle \frac{c+d}{|c-d|}\sqrt{cd}$ sugarú körön.

Megjegyzés. Könnyű meggondolni, hogy a kapott körnek két pontja a $\displaystyle k$ kör síkjában van, ezért nem lehet vetítési középpont, de a körvonal többi pontja mind megfelelő.

Statisztika:

8 dolgozat érkezett.
6 pontot kapott:	Beke Csongor.
5 pontot kapott:	Fleiner Zsigmond.
4 pontot kapott:	2 versenyző.
3 pontot kapott:	1 versenyző.
0 pontot kapott:	3 versenyző.

A KöMaL 2019. novemberi matematika feladatai