A B. 5063. feladat (2019. december)

B. 5063. Az $\displaystyle ABC$ háromszögben $\displaystyle BC<AC$ és az $\displaystyle ACB\sphericalangle$ derékszög. A $\displaystyle BC$ átmérőjű kört az $\displaystyle A$-ból húzott érintők a $\displaystyle C$ és $\displaystyle D$ pontban érintik. Az $\displaystyle AD$ érintő egyenese a $\displaystyle BC$ egyenest az $\displaystyle E$ pontban metszi. A $\displaystyle BC$ szakasz felezőpontja $\displaystyle O$. Bizonyítsuk be, hogy a $\displaystyle DEO$ háromszög területe megegyezik az $\displaystyle AEB$ háromszög területével.

Javasolta: Bíró Bálint (Eger)

(3 pont)

A beküldési határidő 2020. január 10-én LEJÁRT.

Megoldás. Vegyük észre, hogy az $\displaystyle A$ pontból a körhöz húzott $\displaystyle AC$ és $\displaystyle AD$ érintő szakaszok szimmetrikusak az $\displaystyle AO$ egyenesre; tehát az $\displaystyle ADOC$ négyszög deltoid, szimmetriatengelye az $\displaystyle AO$ szakasz, amely egyben a $\displaystyle COD$ szög felezője is. Az $\displaystyle ODB$ háromszög egyenlő szárú, mert $\displaystyle OB$ és $\displaystyle OD$ a kör sugarai; az $\displaystyle ODB$ háromszög alapja, $\displaystyle BD$ párhuzamos az $\displaystyle O$ csúcsból induló külső szögfelezővel, ami $\displaystyle AO$. Tehát az $\displaystyle AO$ és a $\displaystyle BD$ egyenesek párhuzamosak.

A $\displaystyle DBO$ és $\displaystyle DBA$ háromszögek $\displaystyle DB$ oldala közös, az ehhez tartozó magasságuk $\displaystyle BD$ és $\displaystyle AO$ párhuzamossága miatt egyenlő, a két háromszög területe tehát megegyezik. Így

$\displaystyle T_{DEO} = T_{DEB} + T_{DBO} = T_{DEB} + T_{DBA} = T_{AEB}.$

Statisztika:

107 dolgozat érkezett.
3 pontot kapott:	98 versenyző.
2 pontot kapott:	8 versenyző.
1 pontot kapott:	1 versenyző.

A KöMaL 2019. decemberi matematika feladatai