 |
A B. 5065. feladat (2019. december) |
B. 5065. A hegyesszögű \(\displaystyle ABC\) háromszög köré írt kör középpontja \(\displaystyle O\), az \(\displaystyle O\) pont tükörképe a \(\displaystyle BC\), \(\displaystyle CA\) és \(\displaystyle AB\) oldalakra rendre \(\displaystyle O_A\), \(\displaystyle O_B\), illetve \(\displaystyle O_C\). Mutassuk meg, hogy az \(\displaystyle AO_A\), \(\displaystyle BO_B\) és \(\displaystyle CO_C\) egyenesek egy ponton mennek át.
(4 pont)
A beküldési határidő 2020. január 10-én LEJÁRT.
Megoldás. Legyen \(\displaystyle P\) az \(\displaystyle ABC\) háromszög tetszőleges belső pontja. A feladat állításánál némileg általánosabban belátjuk, hogy a \(\displaystyle P\) pontnak rendre a \(\displaystyle BC\), \(\displaystyle AC\), \(\displaystyle AB\) oldalszakaszok \(\displaystyle F_A\), \(\displaystyle F_B\), \(\displaystyle F_C\) felezőpontjára vonatkozó \(\displaystyle P_A\), \(\displaystyle P_B\), \(\displaystyle P_C\) tükörképeire teljesül, hogy az \(\displaystyle AP_A\), \(\displaystyle BP_B\), \(\displaystyle CP_C\) szakaszok felezőpontja közös. (Mivel az \(\displaystyle O\) pont a háromszög mindegyik oldalfelező merőlegesén rajta van, az oldalak felezőpontjára és az oldalegyenesekre való tükörképei egybeesnek.)
Például a \(\displaystyle PP_AP_B\) háromszög \(\displaystyle P_AP_B\)-vel párhuzamos \(\displaystyle F_AF_B\) középvonala egybeesik az \(\displaystyle ABC\) háromszög \(\displaystyle AB\)-vel párhuzamos középvonalával. Ezért az \(\displaystyle AB\) és a \(\displaystyle P_AP_B\) szakaszok párhuzamosak és egyenlő hosszúságúak, azaz \(\displaystyle ABP_AP_B\) paralelogramma, amelynek \(\displaystyle AP_A\) és \(\displaystyle BP_B\) átlói felezve metszik egymást. Mivel ugyanezzel a gondolatmenettel kapjuk, hogy \(\displaystyle AP_A\) és \(\displaystyle CP_C\) is felezve metszik egymást, a három szakasz felezőpontja egybeesik.
Statisztika:
78 dolgozat érkezett. 4 pontot kapott: 60 versenyző. 3 pontot kapott: 11 versenyző. 2 pontot kapott: 6 versenyző. 0 pontot kapott: 1 versenyző.
A KöMaL 2019. decemberi matematika feladatai