A B. 5065. feladat (2019. december)

B. 5065. A hegyesszögű $\displaystyle ABC$ háromszög köré írt kör középpontja $\displaystyle O$, az $\displaystyle O$ pont tükörképe a $\displaystyle BC$, $\displaystyle CA$ és $\displaystyle AB$ oldalakra rendre $\displaystyle O_A$, $\displaystyle O_B$, illetve $\displaystyle O_C$. Mutassuk meg, hogy az $\displaystyle AO_A$, $\displaystyle BO_B$ és $\displaystyle CO_C$ egyenesek egy ponton mennek át.

(4 pont)

A beküldési határidő 2020. január 10-én LEJÁRT.

Megoldás. Legyen $\displaystyle P$ az $\displaystyle ABC$ háromszög tetszőleges belső pontja. A feladat állításánál némileg általánosabban belátjuk, hogy a $\displaystyle P$ pontnak rendre a $\displaystyle BC$, $\displaystyle AC$, $\displaystyle AB$ oldalszakaszok $\displaystyle F_A$, $\displaystyle F_B$, $\displaystyle F_C$ felezőpontjára vonatkozó $\displaystyle P_A$, $\displaystyle P_B$, $\displaystyle P_C$ tükörképeire teljesül, hogy az $\displaystyle AP_A$, $\displaystyle BP_B$, $\displaystyle CP_C$ szakaszok felezőpontja közös. (Mivel az $\displaystyle O$ pont a háromszög mindegyik oldalfelező merőlegesén rajta van, az oldalak felezőpontjára és az oldalegyenesekre való tükörképei egybeesnek.)

Például a $\displaystyle PP_AP_B$ háromszög $\displaystyle P_AP_B$-vel párhuzamos $\displaystyle F_AF_B$ középvonala egybeesik az $\displaystyle ABC$ háromszög $\displaystyle AB$-vel párhuzamos középvonalával. Ezért az $\displaystyle AB$ és a $\displaystyle P_AP_B$ szakaszok párhuzamosak és egyenlő hosszúságúak, azaz $\displaystyle ABP_AP_B$ paralelogramma, amelynek $\displaystyle AP_A$ és $\displaystyle BP_B$ átlói felezve metszik egymást. Mivel ugyanezzel a gondolatmenettel kapjuk, hogy $\displaystyle AP_A$ és $\displaystyle CP_C$ is felezve metszik egymást, a három szakasz felezőpontja egybeesik.

Statisztika:

78 dolgozat érkezett.
4 pontot kapott:	60 versenyző.
3 pontot kapott:	11 versenyző.
2 pontot kapott:	6 versenyző.
0 pontot kapott:	1 versenyző.

A KöMaL 2019. decemberi matematika feladatai