 |
A B. 5070. feladat (2020. január) |
B. 5070. Egy szigeten kétféle ember él. Az igazmondók mindig igazat mondanak, a hazudósok mindig hazudnak. Tíz szigetlakó között kiosztottuk az \(\displaystyle 1,2,\ldots,10\) számokat. Mindenki egy-egy különböző számot kapott. Ezután mindenkinek feltették a következő három kérdést: ,,A te számod páros?'', ,,A te számod osztható 4-gyel?'', ,,A te számod osztható 5-tel?''. Az első kérdésre hárman, a másodikra hatan, a harmadikra pedig ketten válaszoltak igennel. Mely számok vannak hazudósoknál?
Javasolta: Róka Sándor (Nyíregyháza)
(4 pont)
A beküldési határidő 2020. február 10-én LEJÁRT.
Megoldás. Legyen \(\displaystyle x_i=1\), ha az \(\displaystyle i\) számot kapó ember hazudós, és \(\displaystyle x_i=0\) különben (\(\displaystyle 1\leq i\leq 10\)). Hárman válaszoltak igennel arra a kérdésre, páros-e a számuk, így:
\(\displaystyle 5-x_2-x_4-x_6-x_8-x_{10}+x_1+x_3+x_5+x_7+x_9=3.\)
(A páros számot kapó 5 embernek kellene ,,igen'' választ adnia, azonban közülük a hazudósak ,,nem'' választ adnak, a páratlan számot kapók közül pedig éppen a hazudósak adnak majd ,,igen'' választ.)
Ehhez hasonlóan a második és a harmadik kérdésre adott válaszok alapján pedig a következőket kapjuk:
\(\displaystyle 2-x_4-x_8+x_1+x_2+x_3+x_5+x_6+x_7+x_9+x_{10}=6,\)
\(\displaystyle 2-x_5-x_{10}+x_1+x_2+x_3+x_4+x_6+x_7+x_8+x_9=2.\)
A három egyenletet rendezve (úgy, hogy minden pozitív előjellel szerepeljen):
| \(\displaystyle x_1+x_3+x_5+x_7+x_9+2=x_2+x_4+x_6+x_8+x_{10}, \) | \(\displaystyle {(1)}\) |
| \(\displaystyle x_1+x_2+x_3+x_5+x_6+x_7+x_9+x_{10}=x_4+x_8+4, \) | \(\displaystyle {(2)}\) |
| \(\displaystyle x_1+x_2+x_3+x_4+x_6+x_7+x_8+x_9=x_5+x_{10}. \) | \(\displaystyle {(3)}\) |
A \(\displaystyle (2)\) egyenlet alapján a tíz ember között legalább négy hazudósnak kell lennie, ugyanakkor \(\displaystyle (3)\) szerint az 5-ös és 10-es számot kapok között ugyanannyi hazudós van, mint a többiek között. Ez csak úgy teljesülhet, ha a hazudósok száma pontosan négy. Ekkor \(\displaystyle (2)\) alapján \(\displaystyle x_4=x_8=0\), valamint \(\displaystyle (3)\) alapján \(\displaystyle x_5=x_{10}=1\).
Ahhoz, hogy \(\displaystyle (1)\) teljesüljön, a négy darab 1-es közül egynek kell a bal oldalon lennie, és háromnak a jobb oldalon. Mivel \(\displaystyle x_5=1\), ezért \(\displaystyle x_1=x_3=x_7=x_9=0\) kell legyen. Mivel \(\displaystyle x_4=x_8=0\), ezért \(\displaystyle x_{10}=1\) mellett a jobb oldalon lévő két másik 1-es: \(\displaystyle x_2=x_6=1\).
Tehát \(\displaystyle x_2=x_5=x_6=x_{10}=1\) és \(\displaystyle x_1=x_3=x_4=x_7=x_8=x_9=0\), vagyis a \(\displaystyle 2,5,6,10\) számok vannak hazudósaknál. Ekkor valóban mindhárom feltétel teljesül.
Statisztika:
140 dolgozat érkezett. 4 pontot kapott: 115 versenyző. 3 pontot kapott: 13 versenyző. 2 pontot kapott: 9 versenyző. 1 pontot kapott: 2 versenyző. Nem számítjuk a versenybe a születési dátum vagy a szülői nyilatkozat hiánya miatt: 1 dolgozat.
A KöMaL 2020. januári matematika feladatai