A B. 5070. feladat (2020. január)

B. 5070. Egy szigeten kétféle ember él. Az igazmondók mindig igazat mondanak, a hazudósok mindig hazudnak. Tíz szigetlakó között kiosztottuk az $\displaystyle 1,2,\ldots,10$ számokat. Mindenki egy-egy különböző számot kapott. Ezután mindenkinek feltették a következő három kérdést: ,,A te számod páros?'', ,,A te számod osztható 4-gyel?'', ,,A te számod osztható 5-tel?''. Az első kérdésre hárman, a másodikra hatan, a harmadikra pedig ketten válaszoltak igennel. Mely számok vannak hazudósoknál?

Javasolta: Róka Sándor (Nyíregyháza)

(4 pont)

A beküldési határidő 2020. február 10-én LEJÁRT.

Megoldás. Legyen $\displaystyle x_i=1$, ha az $\displaystyle i$ számot kapó ember hazudós, és $\displaystyle x_i=0$ különben ($\displaystyle 1\leq i\leq 10$). Hárman válaszoltak igennel arra a kérdésre, páros-e a számuk, így:

$\displaystyle 5-x_2-x_4-x_6-x_8-x_{10}+x_1+x_3+x_5+x_7+x_9=3.$

(A páros számot kapó 5 embernek kellene ,,igen'' választ adnia, azonban közülük a hazudósak ,,nem'' választ adnak, a páratlan számot kapók közül pedig éppen a hazudósak adnak majd ,,igen'' választ.)

Ehhez hasonlóan a második és a harmadik kérdésre adott válaszok alapján pedig a következőket kapjuk:

$\displaystyle 2-x_4-x_8+x_1+x_2+x_3+x_5+x_6+x_7+x_9+x_{10}=6,$

$\displaystyle 2-x_5-x_{10}+x_1+x_2+x_3+x_4+x_6+x_7+x_8+x_9=2.$

A három egyenletet rendezve (úgy, hogy minden pozitív előjellel szerepeljen):

A $\displaystyle (2)$ egyenlet alapján a tíz ember között legalább négy hazudósnak kell lennie, ugyanakkor $\displaystyle (3)$ szerint az 5-ös és 10-es számot kapok között ugyanannyi hazudós van, mint a többiek között. Ez csak úgy teljesülhet, ha a hazudósok száma pontosan négy. Ekkor $\displaystyle (2)$ alapján $\displaystyle x_4=x_8=0$, valamint $\displaystyle (3)$ alapján $\displaystyle x_5=x_{10}=1$.

Ahhoz, hogy $\displaystyle (1)$ teljesüljön, a négy darab 1-es közül egynek kell a bal oldalon lennie, és háromnak a jobb oldalon. Mivel $\displaystyle x_5=1$, ezért $\displaystyle x_1=x_3=x_7=x_9=0$ kell legyen. Mivel $\displaystyle x_4=x_8=0$, ezért $\displaystyle x_{10}=1$ mellett a jobb oldalon lévő két másik 1-es: $\displaystyle x_2=x_6=1$.

Tehát $\displaystyle x_2=x_5=x_6=x_{10}=1$ és $\displaystyle x_1=x_3=x_4=x_7=x_8=x_9=0$, vagyis a $\displaystyle 2,5,6,10$ számok vannak hazudósaknál. Ekkor valóban mindhárom feltétel teljesül.

Statisztika:

140 dolgozat érkezett.
4 pontot kapott:	115 versenyző.
3 pontot kapott:	13 versenyző.
2 pontot kapott:	9 versenyző.
1 pontot kapott:	2 versenyző.
Nem számítjuk a versenybe a születési dátum vagy a szülői nyilatkozat hiánya miatt:	1 dolgozat.

A KöMaL 2020. januári matematika feladatai