A B. 5071. feladat (2020. január)

B. 5071. Legyen az $\displaystyle ABC$ háromszög $\displaystyle BC$ oldalának $\displaystyle B$-hez közelebbi harmadolópontja $\displaystyle A_1$, a $\displaystyle C$-hez közelebbi harmadolópontja $\displaystyle A_2$, a $\displaystyle CA$ oldal $\displaystyle C$-hez közelebbi harmadolópontja $\displaystyle B_1$, az $\displaystyle A$-hoz közelebbi harmadolópontja $\displaystyle B_2$, végül az $\displaystyle AB$ oldal $\displaystyle A$-hoz közelebbi harmadolópontja $\displaystyle C_1$, a $\displaystyle B$-hez közelebbi harmadolópontja $\displaystyle C_2$. Bizonyítsuk be, hogy az $\displaystyle A_1B_1C_1$ és $\displaystyle B_2C_2A_2$ háromszögek egybevágók és területük az $\displaystyle ABC$ háromszög területének harmadával egyenlő.

Javasolta: Bíró Bálint (Eger)

(3 pont)

A beküldési határidő 2020. február 10-én LEJÁRT.

1. megoldás. Használjuk a szokásos jelöléseket, és az $\displaystyle AC$ oldal felezőpontja legyen $\displaystyle F$. Mivel $\displaystyle A_1C=\frac23 BC$ és $\displaystyle B_1C=\frac13 AC=\frac13\cdot2 FC=\frac23 FC$, ezért $\displaystyle A_1B_1C\triangle\sim BFC\triangle$, hiszen két oldal arányában és az általuk közrezárt szögben megegyeznek. Mivel ennek a két oldalnak az egyenese egybeesik, ezért a harmadik oldaluk párhuzamos egymással: $\displaystyle A_1B_1||BF$, és nyilvánvalóan $\displaystyle A_1B_1=\frac23 BF$. Hasonlóan kapjuk, hogy $\displaystyle C_2B_2||BF$ és $\displaystyle C_2B_2=\frac23 BF$. Ebből egyrészt az $\displaystyle A_1B_1$ szakasz párhuzamos és egyenlő a $\displaystyle C_2B_2$ szakasszal, másrészt $\displaystyle t_{A_1B_1C}=\left(\frac23\right)^2t_{BFC}=\frac49\cdot\frac12t_{ABC}=\frac29t_{ABC}$. Ugyanígy $\displaystyle t_{AC_2B_2}=\frac29t_{ABC}$.

Hasonlóan kapjuk, hogy a $\displaystyle B_1C_1$ szakasz párhuzamos és egyenlő az $\displaystyle A_2C_2$ szakasszal, a $\displaystyle C_1A_1$ szakasz párhuzamos és egyenlő a $\displaystyle B_2A_2$ szakasszal, valamint $\displaystyle t_{B_1AC_1}=t_{C_2BA_2}=t_{C_1BA_1}=t_{B_2A_2C}=\frac29t_{ABC}$.

Ezekből pedig egyrészt az $\displaystyle A_1B_1C_1$ és $\displaystyle A_2B_2C_2$ háromszögek egybevágósága adódik, hiszen oldalaik páronként egyenlőek, másrészt területeikre

$\displaystyle t_{A_2B_2C_2}=t_{A_1B_1C_1}=t_{ABC}-t_{A_1CB_1}-t_{C_1B_1A}-t_{A_1C_1B}=t_{ABC}-3\cdot \frac{2}{9}t_{ABC}= \frac{1}{3}t_{ABC}.$

Ezzel mindkét bizonyítandó állítást beláttuk.

2. megoldás. Használjuk az ábra jelöléseit, az $\displaystyle ABC$ háromszög szögei legyenek $\displaystyle \alpha$, $\displaystyle \beta$ és $\displaystyle \gamma$ a szokásos módon. Az $\displaystyle A_1B_1C_1$ és $\displaystyle A_2B_2C_2$ háromszögek egybevágóságát a megfelelő oldalaik egyenlőségével igazoljuk.

Először belátjuk, hogy $\displaystyle A_1B_1=B_2C_2$. Ehhez írjuk fel a koszinusz-tételt az $\displaystyle ABC$ háromszögben az $\displaystyle \alpha$ és $\displaystyle \gamma$ szögekre, ezekből

$\displaystyle \cos \alpha=\frac{-a^2+b^2+c^2}{2bc} \quad \text{és} \quad \cos \gamma=\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}.$

Most ismét a koszinusz-tételt alkalmazzuk az $\displaystyle A_1B_1C$ háromszögben az $\displaystyle A_1B_1$ oldalra. Kihasználjuk, hogy az $\displaystyle A_1$ és $\displaystyle B_1$ pontok választása miatt $\displaystyle CA_1=2a/3$ és $\displaystyle CB_1=b/3$. Így

Másrészt felírhatjuk a koszinusz-tételt az $\displaystyle AC_2B_2$ háromszögben a $\displaystyle C_2B_2$ oldalra, és az előzőhöz hasonló számolással kapjuk, hogy

Nyertük, hogy $\displaystyle A_1B_1^2=B_2C_2^2$, tehát $\displaystyle A_1B_1=B_2C_2$. Ugyanígy látható be, hogy $\displaystyle B_1C_1=C_2A_2$ és $\displaystyle A_1C_1=B_2A_2$, amivel az $\displaystyle A_1B_1C_1$ és $\displaystyle A_2B_2C_2$ háromszögek egybevágóságát beláttuk.

Statisztika:

110 dolgozat érkezett.
3 pontot kapott:	102 versenyző.
2 pontot kapott:	2 versenyző.
1 pontot kapott:	4 versenyző.
0 pontot kapott:	2 versenyző.

A KöMaL 2020. januári matematika feladatai