Problem B. 5071. (January 2020)

B. 5071. Let us consider a triangle $\displaystyle ABC$. Let $\displaystyle A_1$ and $\displaystyle A_2$ denote the points that divide side $\displaystyle BC$ into three equal parts, with $\displaystyle A_1$ lying closer to vertex $\displaystyle B$. Analogously, let $\displaystyle B_1$, $\displaystyle B_2$ divide side $\displaystyle CA$ into equal parts, with $\displaystyle B_1$ lying closer to $\displaystyle C$, and let $\displaystyle C_1$ és $\displaystyle C_2$ divide $\displaystyle AB$ into three equal parts, with $\displaystyle C_1$ lying closer to $\displaystyle B$. Prove that the triangles $\displaystyle A_1B_1C_1$ and $\displaystyle B_2C_2A_2$ are congruent, and both of their areas are equal to the third of the area of the triangle $\displaystyle ABC$.

Proposed by B. Bíró, Eger

(3 pont)

Deadline expired on February 10, 2020.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

1. megoldás. Használjuk a szokásos jelöléseket, és az $\displaystyle AC$ oldal felezőpontja legyen $\displaystyle F$. Mivel $\displaystyle A_1C=\frac23 BC$ és $\displaystyle B_1C=\frac13 AC=\frac13\cdot2 FC=\frac23 FC$, ezért $\displaystyle A_1B_1C\triangle\sim BFC\triangle$, hiszen két oldal arányában és az általuk közrezárt szögben megegyeznek. Mivel ennek a két oldalnak az egyenese egybeesik, ezért a harmadik oldaluk párhuzamos egymással: $\displaystyle A_1B_1||BF$, és nyilvánvalóan $\displaystyle A_1B_1=\frac23 BF$. Hasonlóan kapjuk, hogy $\displaystyle C_2B_2||BF$ és $\displaystyle C_2B_2=\frac23 BF$. Ebből egyrészt az $\displaystyle A_1B_1$ szakasz párhuzamos és egyenlő a $\displaystyle C_2B_2$ szakasszal, másrészt $\displaystyle t_{A_1B_1C}=\left(\frac23\right)^2t_{BFC}=\frac49\cdot\frac12t_{ABC}=\frac29t_{ABC}$. Ugyanígy $\displaystyle t_{AC_2B_2}=\frac29t_{ABC}$.

Hasonlóan kapjuk, hogy a $\displaystyle B_1C_1$ szakasz párhuzamos és egyenlő az $\displaystyle A_2C_2$ szakasszal, a $\displaystyle C_1A_1$ szakasz párhuzamos és egyenlő a $\displaystyle B_2A_2$ szakasszal, valamint $\displaystyle t_{B_1AC_1}=t_{C_2BA_2}=t_{C_1BA_1}=t_{B_2A_2C}=\frac29t_{ABC}$.

Ezekből pedig egyrészt az $\displaystyle A_1B_1C_1$ és $\displaystyle A_2B_2C_2$ háromszögek egybevágósága adódik, hiszen oldalaik páronként egyenlőek, másrészt területeikre

$\displaystyle t_{A_2B_2C_2}=t_{A_1B_1C_1}=t_{ABC}-t_{A_1CB_1}-t_{C_1B_1A}-t_{A_1C_1B}=t_{ABC}-3\cdot \frac{2}{9}t_{ABC}= \frac{1}{3}t_{ABC}. $

Ezzel mindkét bizonyítandó állítást beláttuk.

2. megoldás. Használjuk az ábra jelöléseit, az $\displaystyle ABC$ háromszög szögei legyenek $\displaystyle \alpha$, $\displaystyle \beta$ és $\displaystyle \gamma$ a szokásos módon. Az $\displaystyle A_1B_1C_1$ és $\displaystyle A_2B_2C_2$ háromszögek egybevágóságát a megfelelő oldalaik egyenlőségével igazoljuk.

Először belátjuk, hogy $\displaystyle A_1B_1=B_2C_2$. Ehhez írjuk fel a koszinusz-tételt az $\displaystyle ABC$ háromszögben az $\displaystyle \alpha$ és $\displaystyle \gamma$ szögekre, ezekből

$\displaystyle \cos \alpha=\frac{-a^2+b^2+c^2}{2bc} \quad \text{és} \quad \cos \gamma=\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}.$

Most ismét a koszinusz-tételt alkalmazzuk az $\displaystyle A_1B_1C$ háromszögben az $\displaystyle A_1B_1$ oldalra. Kihasználjuk, hogy az $\displaystyle A_1$ és $\displaystyle B_1$ pontok választása miatt $\displaystyle CA_1=2a/3$ és $\displaystyle CB_1=b/3$. Így

$$\begin{align*} A_1B_1^2 &= CA_1^2 + CB_1^2 -2CA_1\cdot CB_1\cos \gamma = \frac{4}{9}a^2 + \frac{1}{9}b^2 -2\cdot \frac{2}{9}ab\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}= \\ &= \frac{4}{9}a^2+\frac{1}{9}b^2-\frac{2}{9}(a^2+b^2-c^2)= \frac{1}{9}(2a^2-b^2+2c^2). \end{align*}$$

Másrészt felírhatjuk a koszinusz-tételt az $\displaystyle AC_2B_2$ háromszögben a $\displaystyle C_2B_2$ oldalra, és az előzőhöz hasonló számolással kapjuk, hogy

$$\begin{align*} B_2C_2^2&=AB_2^2+AC_2^2-2AB_2\cdot AC_2\cos \alpha = \frac{4}{9}c^2 + \frac{1}{9}b^2 -2\cdot \frac{2}{9}bc\frac{-a^2+b^2+c^2}{2bc}= \\ &= \frac{4}{9}c^2+\frac{1}{9}b^2-\frac{2}{9}(-a^2+b^2+c^2)= \frac{1}{9}(2a^2-b^2+2c^2). \end{align*}$$

Nyertük, hogy $\displaystyle A_1B_1^2=B_2C_2^2$, tehát $\displaystyle A_1B_1=B_2C_2$. Ugyanígy látható be, hogy $\displaystyle B_1C_1=C_2A_2$ és $\displaystyle A_1C_1=B_2A_2$, amivel az $\displaystyle A_1B_1C_1$ és $\displaystyle A_2B_2C_2$ háromszögek egybevágóságát beláttuk.

Statistics:

110 students sent a solution.

3 points: 102 students.

2 points: 2 students.

1 point: 4 students.

0 point: 2 students.

Problems in Mathematics of KöMaL, January 2020

110 students sent a solution.
3 points:	102 students.
2 points:	2 students.
1 point:	4 students.
0 point:	2 students.

Already signed up?
New to KöMaL?