A B. 5072. feladat (2020. január)

B. 5072. Igazoljuk, hogy $\displaystyle \big[\sqrt n+\sqrt{n+3}\,\big]=\big[\sqrt{4n+5}\,\big]$ bármely pozitív egész $\displaystyle n$ esetén.

Javasolta: Imre Tamás (Marosvásárhely)

(3 pont)

A beküldési határidő 2020. február 10-én LEJÁRT.

Megoldás. Először megmutatjuk, hogy $\displaystyle \sqrt{4n+5}\leq \sqrt{n}+\sqrt{n+3}$ minden $\displaystyle n$ pozitív egész számra. Az egyenlet mindkét oldala nemnegatív, így a négyzetre emelés ekvivalens lépés:

$\displaystyle 4n+5\leq n+n+3+2\sqrt{n(n+3)},$

vagyis azt kell igazolnunk, hogy

$\displaystyle 2n+2\leq 2\sqrt{n(n+3)}.$

2-vel osztva, és négyzetre emelve (most is mindkét oldal nemnegatív) kapjuk, hogy elég belátni az

$\displaystyle n^2+2n+1\leq n^2+3n$

egyenlőtlenséget, ami valóban teljesül, hiszen $\displaystyle n\geq 1$.

Most belátjuk, hogy $\displaystyle \sqrt{n}+\sqrt{n+3}< \sqrt{4n+6}$. Ismét végig ekvivalens lépéseket alkalmazva:

$\displaystyle n+n+3+2\sqrt{n(n+3)}<4n+6,$

$\displaystyle 2\sqrt{n(n+3)}<2n+3,$

$\displaystyle 4n^2+12n<4n^2+12n+9.$

Tehát ez az egyenlőtlenség is minden pozitív egész $\displaystyle n$-re teljesül.

Beláttuk, hogy $\displaystyle \sqrt{4n+5}\leq \sqrt{n}+\sqrt{n+3}<\sqrt{4n+6}$. Világos, hogy a $\displaystyle (\sqrt{4n+5},\sqrt{4n+6})$ nyílt intervallum nem tartalmaz egész számot, hiszen a pozitív egész számok négyzetgyökének (szigorúan növekedő) sorozatában minden pozitív egész ($\displaystyle k$) szám egyszer szerepel ($\displaystyle \sqrt{k^2}$-ként). Így $\displaystyle (\sqrt{4n+5}, \sqrt{n}+\sqrt{n+3}]$ intervallumba sem esik egész szám, vagyis $\displaystyle [\sqrt{4n+5}]=[\sqrt{n}+\sqrt{n+3}]$ valóban teljesül.

Statisztika:

57 dolgozat érkezett.
3 pontot kapott:	Al-Hag Máté Amin, Argay Zsolt, Balogh Ádám Péter, Baski Bence, Beinschroth Ninett, Csizmadia Miklós, Csonka Illés, Czett Mátyás, Feczkó Nóra, Fekete Richárd, Füredi Erik Benjámin, Gábriel Tamás, Hervay Bence, Jánosik Máté, Kercsó-Molnár Anita, Kerekes Boldizsár, Kiss 014 Dávid, Koszta Benedek, Laki Anna, Lengyel Ádám, Lovas Márton, Ludányi Levente, Mácsai Dániel, Metzger Ábris András, Móricz Benjámin, Nagy 551 Levente, Nguyen Bich Diep, Osztényi József, Reimann Kristóf, Seres-Szabó Márton, Szabó 991 Kornél, Szakács Ábel, Szanyi Attila, Sztranyák Gabriella, Tiderenczl Dániel, Tóth 057 Bálint, Velich Nóra, Wiener Anna, Windisch András.
2 pontot kapott:	Biró 424 Ádám, Bognár 171 András Károly, Hegedűs Dániel, Kovács Alex, Kovács Gábor Benedek, Kovács Móric, Molnár Lehel, Varga Boldizsár, Zempléni Lilla.
1 pontot kapott:	3 versenyző.
0 pontot kapott:	6 versenyző.

A KöMaL 2020. januári matematika feladatai