 |
A B. 5073. feladat (2020. január) |
B. 5073. Az \(\displaystyle ABC\) háromszögbe írt körnek a háromszögoldalakkal párhuzamos érintői a háromszögből három kis háromszöget vágnak le, az ezekbe írt körök sugara 2, 3 és 10 egység. Mutassuk meg, hogy az \(\displaystyle ABC\) háromszög derékszögű.
Javasolta: Róka Sándor (Nyíregyháza)
(4 pont)
A beküldési határidő 2020. február 10-én LEJÁRT.
Megoldás. Legyenek a csúcsok \(\displaystyle A,B,C\), a beírt kör érintési pontjai \(\displaystyle A_1,B_1,C_1\), a nagy és a kis háromszögek félkerületei \(\displaystyle s,s_a,s_b,s_c\). A kis háromszögekbe írt körök sugarai rendre \(\displaystyle r_a, r_b, r_c\). A beírt kör a kis háromszögekben hozzáírt kör. Egy háromszög hozzáírt köre esetében azok az érintőszakaszok, amelyek a belső szögfelezőhöz tartozó csúcsból indulnak a háromszög félkerületével egyenlők, ezért \(\displaystyle AB_1=AC_1=s_a=s-a\), \(\displaystyle BA_1=BC_1=s_b=s-b\), \(\displaystyle CA_1=CB_1=s_c=s-c\).
A kis háromszögek mind hasonlóak az eredeti háromszöghöz, így egymáshoz is. Emiatt
\(\displaystyle 2:3:10 = r_a:r_b:r_c = s_a:s_b:s_c = (s-a):(s-b):(s-c). \)
Az érintőszakaszok páronkénti összegeiből a háromszög oldalait kapjuk, így
$$\begin{align*} a:b:c &= \big((s-b)+(s-c)\big):\big((s-c)+(s-a)\big):\big((s-a)+(s-b)\big) = \\ &= (r_b+r_c):(r_c+r_a):(r_a+r_b) = (3+10):(10+2):(2+3) = \\ &= 13:12:5. \end{align*}$$Innen a Pitagorász-tétel megfordítása alapján látható, hogy a háromszög valóban derékszögű.
Statisztika:
58 dolgozat érkezett. 4 pontot kapott: 51 versenyző. 3 pontot kapott: 2 versenyző. 2 pontot kapott: 1 versenyző. 1 pontot kapott: 3 versenyző. 0 pontot kapott: 1 versenyző.
A KöMaL 2020. januári matematika feladatai