A B. 5073. feladat (2020. január)

B. 5073. Az $\displaystyle ABC$ háromszögbe írt körnek a háromszögoldalakkal párhuzamos érintői a háromszögből három kis háromszöget vágnak le, az ezekbe írt körök sugara 2, 3 és 10 egység. Mutassuk meg, hogy az $\displaystyle ABC$ háromszög derékszögű.

Javasolta: Róka Sándor (Nyíregyháza)

(4 pont)

A beküldési határidő 2020. február 10-én LEJÁRT.

Megoldás. Legyenek a csúcsok $\displaystyle A,B,C$, a beírt kör érintési pontjai $\displaystyle A_1,B_1,C_1$, a nagy és a kis háromszögek félkerületei $\displaystyle s,s_a,s_b,s_c$. A kis háromszögekbe írt körök sugarai rendre $\displaystyle r_a, r_b, r_c$. A beírt kör a kis háromszögekben hozzáírt kör. Egy háromszög hozzáírt köre esetében azok az érintőszakaszok, amelyek a belső szögfelezőhöz tartozó csúcsból indulnak a háromszög félkerületével egyenlők, ezért $\displaystyle AB_1=AC_1=s_a=s-a$, $\displaystyle BA_1=BC_1=s_b=s-b$, $\displaystyle CA_1=CB_1=s_c=s-c$.

A kis háromszögek mind hasonlóak az eredeti háromszöghöz, így egymáshoz is. Emiatt

$\displaystyle 2:3:10 = r_a:r_b:r_c = s_a:s_b:s_c = (s-a):(s-b):(s-c).$

Az érintőszakaszok páronkénti összegeiből a háromszög oldalait kapjuk, így

Innen a Pitagorász-tétel megfordítása alapján látható, hogy a háromszög valóban derékszögű.

Statisztika:

58 dolgozat érkezett.
4 pontot kapott:	51 versenyző.
3 pontot kapott:	2 versenyző.
2 pontot kapott:	1 versenyző.
1 pontot kapott:	3 versenyző.
0 pontot kapott:	1 versenyző.

A KöMaL 2020. januári matematika feladatai