A B. 5074. feladat (2020. január)

B. 5074. Mely pozitív egész $\displaystyle n$-ekre és különböző (pozitív) $\displaystyle p$, $\displaystyle q$, $\displaystyle r$ prímszámokra teljesül, hogy

$\displaystyle \frac1{pq}+\frac1{pr^3}+\frac1{qr^2}=\frac1n ?$

Javasolta: Holló Gábor (Budapest)

(5 pont)

A beküldési határidő 2020. február 10-én LEJÁRT.

Megoldás. Az egyenletet szorozzuk be $\displaystyle npqr^3$-nal:

$\displaystyle n(r^3+pr+q)=pqr^3.$

A bal oldalon szereplő $\displaystyle r^3+pr+q$ tényező nem osztható az $\displaystyle r$ prímmel, hiszen $\displaystyle r\mid r^3+pr$, de $\displaystyle r\nmid q$, mert $\displaystyle r\ne q$. Így $\displaystyle r^3\mid n$, hiszen az egyenlet jobb oldala osztható $\displaystyle r^3$-nal. Legyen $\displaystyle n=r^3n'$, ahol $\displaystyle n'$ is pozitív egész. Leosztva $\displaystyle r^3$-nal:

$\displaystyle n'(r^3+pr+q)=pq.$

Mivel $\displaystyle \max(p,q)<r^3+pr+q$, ezért csak $\displaystyle r^3+pq+q=pq$ lehet, és így $\displaystyle n'=1$.

Az $\displaystyle r^3+pr+q=pq$ egyenlet mindkét oldalához $\displaystyle r$-et adva és megfelelően rendezve a jobb oldal szorzattá alakítható az alábbi módon:

$\displaystyle r^3+r=(q-r)(p-1).$

Ha $\displaystyle p,q,r$ mindegyike páratlan lenne, akkor a jobb oldalon két páros szám szorzata állna, vagyis $\displaystyle 4\mid r^3+r=r(r^2+1)$ következne. Azonban $\displaystyle r$ páratlan, $\displaystyle r^2+1$ szám 4-es maradéka pedig 2 (hiszen páratlan szám négyzete 4-gyel osztva 1 maradékot ad). Ez az ellentmondás mutatja, hogy $\displaystyle p,q,r$ között páros számnak is kell lenne, ami csak a 2 lehet, hiszen $\displaystyle p,q,r$ pozitív prímek. Mivel $\displaystyle r^3+r$ és $\displaystyle p-1$ pozitívak, ezért $\displaystyle 0<q-r$ alapján $\displaystyle r<q$. Továbbá $\displaystyle r\mid r^3+r=(q-r)(p-1)$ alapján $\displaystyle r\mid q-r$ vagy $\displaystyle r\mid p-1$. Mivel $\displaystyle r\nmid q$, ezért csak $\displaystyle r\mid p-1$ lehet, amiből $\displaystyle r<q$. Tehát $\displaystyle p,q,r$ közül $\displaystyle r$ a legkisebb és így $\displaystyle r=2$.

A kapott egyenlet:

$\displaystyle 10=(q-2)(p-1).$

Mivel $\displaystyle p$ páratlan prím (hiszen $\displaystyle 2=r\ne p$), ezért $\displaystyle p-1$ páros, vagyis értéke csak 2 vagy 10 lehet, hiszen a $\displaystyle q-2$ és $\displaystyle p-1$ tényezők pozitívak, és a 10-nek csak ez a két pozitív páros osztója van. Ha $\displaystyle p-1=2$, akkor $\displaystyle q-2=5$, ekkor $\displaystyle p=3,q=7$ valóban prímek. Ha pedig $\displaystyle p-1=10$, akkor $\displaystyle q-2=1$, ekkor $\displaystyle p=11,q=3$ szintén prímek.

Tehát egyetlen olyan $\displaystyle n$ érték van, amire léteznek megfelelő $\displaystyle p,q,r$ prímek: $\displaystyle n(=r^3)=2^3=8$, és ekkor a $\displaystyle (p,q,r)=(3,7,2)$ és a $\displaystyle (p,q,r)=(11,3,2)$ hármasok megfelelők. (Utóbbit ellenőrizhetjük behelyettesítéssel is, de hivatkozhatunk arra is, hogy végig ekvivalens átalakításokat hajtottunk végre az egyenlettel.)

Statisztika:

73 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	57 versenyző.
4 pontot kapott:	2 versenyző.
3 pontot kapott:	5 versenyző.
2 pontot kapott:	4 versenyző.
1 pontot kapott:	2 versenyző.
0 pontot kapott:	3 versenyző.

A KöMaL 2020. januári matematika feladatai