 |
A B. 5076. feladat (2020. január) |
B. 5076. Oldjuk meg az
$$\begin{align*} x+y+z+v & =0, \\ x^2+y^2+z^2+v^2 & = 12, \\ x^3+y^3+z^3+v^3 & = 24 \end{align*}$$egyenletrendszert a valós számnégyesek halmazán.
(6 pont)
A beküldési határidő 2020. február 10-én LEJÁRT.
1. megoldás. Próbálgatással megtalálható, hogy a \(\displaystyle (3,-1,-1,-1)\) számnégyes és permutációi megoldások. Azt állítjuk, hogy, hogy nincs más megoldás.
Először megmutatjuk, hogy \(\displaystyle |x|,|y|,|z|,|v| \) mindegyike legfeljebb \(\displaystyle 3\). A számtani és négyzetek közepek közötti egyenlőtlenségből és a háromszög-egyenlőtlenségből
\(\displaystyle |v| = |x+y+z| \le |x|+|y|+|z| = 3\cdot \frac{|x|+|y|+|z|}{3} \le 3\cdot \sqrt{\frac{x^2+y^2+z^3}{3}} = 3\sqrt{\frac{12-v^2}{3}}; \)
négyzetre emelve és rendezve \(\displaystyle |v|^2\le 9\), vagyis \(\displaystyle |v|\le3\). A szimmetria miatt ugyanígy igazolhatjuk, hogy \(\displaystyle |x|\le3\), \(\displaystyle |y|\le3\) és \(\displaystyle |z|\le3\).
Adjuk össze az
\(\displaystyle (x+1)^2(3-x), \quad (y+1)^2(3-y), \quad (z+1)^2(3-z), \quad (v+1)^2(3-v) \)
kifejezéseket:
$$\begin{gather*} (x+1)^2(3-x) + (y+1)^2(3-y) + (z+1)^2(3-z) + (v+1)^2(3-v) = \\ = -(x^3+y^3+z^3+v^3)+(x^2+y^2+z^2+v^2)+5(x+y+z+v)+12 = \\ = -24+12+5\cdot0+12=0. \end{gather*}$$A baloldalon mind a négy tag nemnegatív, tehát az összegük csak akkor lehet nulla, ha mindegyikük nulla. Ez pedig akkor következik be, ha \(\displaystyle x,y,z,v\) mindegyike \(\displaystyle 3\) vagy \(\displaystyle -1\). Mivel a négy változó összege is nulla, az egyik értéke \(\displaystyle 3\), a többi három értéke \(\displaystyle -1\).
2. megoldás. Legyen \(\displaystyle a=xyzv\), és írjuk fel azt az \(\displaystyle f(t)\) polinomot, amelynek gyökei az \(\displaystyle x,y,z,v\) számok:
$$\begin{align*} f(t) &= (t-x)(t-y)(t-z)(t-v) = \\ &= t^4-(x+y+z+v)t^3+(xy+\ldots+zv)t^2-(xyz+xyv+xzv+yzv)t+xyzv. \end{align*}$$A hiányzó együtthatókat kifejezhetjük az egyenletrendszerből:
$$\begin{align*} x+y+z+v &= 0, \\ xy+\ldots+zv &= \frac{(x+y+z+v)^2-(x^2+y^2+z^2+v^2)}{2} = -6, \quad\text{és} \\ xyz+xyv+xzv+yzv &= \frac{(x+y+z+v)^3-3(x+y+z+v)(x^2+y^2+z^2+v^2)+2(x^3+y^3+z^3+v^3)}6 = 8, \end{align*}$$tehát
\(\displaystyle f(t) = t^4-6t^2-8t+a. \)
Vizsgáljuk meg az \(\displaystyle f\) függvényt monotonitás szerint. A függvény deriváltja
\(\displaystyle f'(t)=4t^3-12t-8=4(t+1)^2(t-2). \)
A \(\displaystyle (-\infty,-1)\) intervallumban és a \(\displaystyle (-1,2)\) intervallumban a derivált negatív, a \(\displaystyle (2,\infty)\) intervallumban pozitív, ezért a \(\displaystyle (-\infty,2]\) intervallumban \(\displaystyle f\) szigorúan monoton csökken, a \(\displaystyle [2,\infty)\) intervallumban pedig szigorúan monoton nő. Emiatt \(\displaystyle f\)-nek legfeljebb két különböző valós gyöke lehet, vagyis az \(\displaystyle x,y,z,v\) számok között legfeljebb kétféle érték szerepelhet.
Azt is észrevehetjük hogy \(\displaystyle x=y=z=v\) nem lehetséges, mert a változók összege \(\displaystyle 0\), a négyzetösszegük pedig pozitív. Tehát \(\displaystyle f\)-nek pontosan két különböző gyöke van, így a függvény abszolút minimuma, \(\displaystyle f(2)\) negatív.
Az \(\displaystyle f\) polinomnak multiplicitással számolva négy valós gyöke van, tehát van közöttük többszörös gyök. A többszörös gyökök a deriváltnak is gyökei. A derivált gyökei \(\displaystyle -1\) és \(\displaystyle 2\), de a \(\displaystyle 2\) nem gyöke \(\displaystyle f\)-nek; tehát az \(\displaystyle f\) többszörös gyöke csak a \(\displaystyle -1\) lehet.
Az \(\displaystyle f(-1)=0\) feltétel megadja \(\displaystyle a\) értékét: \(\displaystyle f(-1)=3+a\), vagyis \(\displaystyle a=-3\), és így
\(\displaystyle f(t) = t^4-6t^2-8t-3=(t+1)^3(t-3). \)
Ebből leolvasható, hogy \(\displaystyle x,y,z,v\) közül valamelyik a \(\displaystyle 3\), a többi értéke \(\displaystyle -1\).
Megjegyzés. Ismert,hogy az
\(\displaystyle \begin{matrix} e_1=x+y+z+v, \phantom{------} & p_1=x+y+z+v \phantom{--} \\ e_2=xy+xz+xv+yz+yv+zv, & p_2=x^2+y^2+z^2+v^2 \\ e_3=xyz+xyv+xzv+yzv \phantom{---} & p_3=x^3+y^3+z^3+v^3 \\ e_4=xyz+xyv+xzv+yzv \phantom{---} & p_4=x^4+y^4+z^4+v^4 \\ \end{matrix}\)
kifejezésekre teljesülnek az úgynevezett Newton(–Girard) formulák:
$$\begin{align*} 1\cdot e_1 &= p_1; \\ 2\cdot e_2 &= e_1p_1-p_2; \\ 3\cdot e_3 &= e_2p_1-e_1p_2+p_3; \\ 4\cdot e_4 &= e_3p_1-e_2p_2+e_1p_3-p_4. \end{align*}$$A feladat feltételei szerint \(\displaystyle p_1=0\), \(\displaystyle p_2=12\) és \(\displaystyle p_3=24\); a fenti azonosságokból
$$\begin{align*} e_1 &= p_1 = 0; \\ e_2 &=\frac12(e_1p_1-p_2) = \frac12(0\cdot0-12) = 6; \\ e_3 &=\frac13(e_2p_1-e_1p_2+p_3) = \frac13(6\cdot0-0\cdot12+24)=8. \end{align*}$$Statisztika:
55 dolgozat érkezett. 6 pontot kapott: Andó Viola, Argay Zsolt, Bán-Szabó Áron, Baski Bence, Beinschroth Ninett, Beke Csongor, Fekete Richárd, Fleiner Zsigmond, Füredi Erik Benjámin, Geretovszky Anna, Hegedűs Dániel, Hervay Bence, Jánosik Áron, Jánosik Máté, Kovács 129 Tamás, Lengyel Ádám, Lovas Márton, Mácsai Dániel, Nádor Benedek, Nguyen Bich Diep, Osztényi József, Szabó 991 Kornél, Sztranyák Gabriella, Tiderenczl Dániel, Trombitás Karolina Sarolta, Velich Nóra. 5 pontot kapott: Ludányi Levente, Mátravölgyi Bence, Móricz Benjámin, Nagy 551 Levente. 4 pontot kapott: 3 versenyző. 3 pontot kapott: 6 versenyző. 2 pontot kapott: 1 versenyző. 1 pontot kapott: 11 versenyző. 0 pontot kapott: 4 versenyző.
A KöMaL 2020. januári matematika feladatai