A B. 5078. feladat (2020. február)

B. 5078. Definiáljuk az \(\displaystyle a_1,a_2,\ldots\) sorozatot a következő rekurzióval:

\(\displaystyle a_1=1, \quad a_n=\frac{n+1}{n-1}(a_1+a_2+\ldots+a_{n-1}),\quad\text{ha \(\displaystyle n>1\).} \)

Határozzuk meg \(\displaystyle a_{2020}\) értékét.

(4 pont)

A beküldési határidő 2020. március 10-én LEJÁRT.

Megoldás. Legyen \(\displaystyle s_n:=a_1+a_2+\dots+a_{n}\). Ekkor \(\displaystyle s_1=a_1\) és a rekurzió alapján

\(\displaystyle s_n=s_{n-1}+a_n=s_{n-1}+\frac{n+1}{n-1}s_{n-1}=\frac{2n}{n-1}s_{n-1}.\)

Az így kapott rekurziót ismételten (összesen \(\displaystyle (n-1)\)-szer) használva:

\(\displaystyle s_n=\frac{2n}{n-1}s_{n-1}=\frac{2n}{n-1}\frac{2(n-1)}{n-2}s_{n-2}=\dots=\frac{2n}{n-1}\frac{2(n-1)}{n-2}\dots \frac{2\cdot 2}{1}s_{1}=2^{n-1}n,\)

felhasználva, hogy \(\displaystyle s_1=1\), és a 2-es tényezők kiemelése után maradó teleszkopikus szorzatot egyszerűsítve.

Így \(\displaystyle a_n=s_n-s_{n-1}=2^{n-1}n-2^{n-2}(n-1)=2^{n-2}(2n-(n-1))=2^{n-2}(n+1)\), speciálisan \(\displaystyle a_{2020}=2^{2018}\cdot 2021\).

Statisztika:

96 dolgozat érkezett.
4 pontot kapott:	85 versenyző.
3 pontot kapott:	3 versenyző.
2 pontot kapott:	1 versenyző.
1 pontot kapott:	2 versenyző.
0 pontot kapott:	5 versenyző.

A KöMaL 2020. februári matematika feladatai