A B. 5079. feladat (2020. február)

B. 5079. Oldjuk meg a valós számok halmazán a

$\displaystyle \log_2 \log_3 x+\log_3\log_2 x=\log_2\frac{6}{\log_2 3}$

egyenletet.

Javasolta: Bíró Bálint (Eger)

(3 pont)

A beküldési határidő 2020. március 10-én LEJÁRT.

Megoldás. Ahhoz, hogy az egyenlet értelmes legyen az kell, hogy $\displaystyle x,\log_3 x,\log_2 x$ értéke pozitív legyen, vagyis $\displaystyle x>1$ teljesüljön.

Tegyük fel tehát, hogy $\displaystyle x>1$, és végezzünk ekvivalens átalakításokat az egyenleten a logaritmus azonosságait használva:

$\displaystyle \log_2 \log_3 x+\log_3\log_2 x=\log_2\frac{6}{\log_2 3},$

$\displaystyle \log_2 \frac{\log_2 x}{\log_2 3}+\log_3\log_2 x=\log_2\frac{6}{\log_2 3},$

$\displaystyle \log_2 \log_2 x- \log_2 \log_2 3 +\log_3\log_2 x=\log_2 6 -\log_2 \log_2 3,$

$\displaystyle \log_2 \log_2 x +\log_3\log_2 x=\log_2 6,$

$\displaystyle \log_2 \log_2 x +\frac{\log_2 \log_2 x}{\log_2 3}=\log_2 6,$

$\displaystyle \left(1+\frac{1}{\log_2 3} \right)\log_2\log_2 x=1+\log_2 3,$

$\displaystyle \log_2\log_2 x=\log_2 3.$

Mivel a $\displaystyle \log_2$ függvény szigorúan monoton, ezért ezzel ekvivalens a következő:

$\displaystyle \log_2 x=3,$

vagyis $\displaystyle x=2^3=8$. Mivel végig ekvivalens átalakításokat hajtottunk végre (és a 8 az értelmezési tartományhoz tartozik), így az egyenletnek egyetlen megoldása van, éspedig $\displaystyle x=8$.

Megjegyzés. Megjegyezzük, hogy a logaritmus-függvény tulajdonságai alapján az eredeti egyenlet bal oldala szigorúan monoton növekedő az $\displaystyle (1,\infty)$ intervallumon, tehát világos, hogy az egyenletnek legfeljebb egy megoldása van. (Az $\displaystyle 1+$ és $\displaystyle \infty$-beli határértékeket vizsgálva, és a folytonosságot használva az is következik, hogy van megoldás.) Tehát elegendő megtalálni és bizonyítani, hogy $\displaystyle x=8$ megoldás.

Statisztika:

88 dolgozat érkezett.
3 pontot kapott:	60 versenyző.
2 pontot kapott:	19 versenyző.
1 pontot kapott:	5 versenyző.
0 pontot kapott:	4 versenyző.

A KöMaL 2020. februári matematika feladatai