A B. 5080. feladat (2020. február)

B. 5080. Az \(\displaystyle ABC\) egyenlő szárú háromszög \(\displaystyle AB\) alapjának felezőpontja \(\displaystyle D\), \(\displaystyle AC\) szárának \(\displaystyle C\)-hez közelebbi harmadolópontja \(\displaystyle H\). A \(\displaystyle BCH\) kör a \(\displaystyle CD\) egyenest a \(\displaystyle C\) és az \(\displaystyle X\) pontban metszi. Mutassuk meg, hogy \(\displaystyle CX=\frac 43r\), ahol \(\displaystyle r\) az \(\displaystyle ABC\) kör sugara.

(4 pont)

A beküldési határidő 2020. március 10-én LEJÁRT.

Megoldás. Legyen a körülírt kör középpontja \(\displaystyle O\), és a körülírt körön a \(\displaystyle C\)-vel átellenes pont \(\displaystyle F\). Azt fogjuk igazolni, hogy \(\displaystyle OX:OF=1:3\). Mivel \(\displaystyle OC=OF=r\), ebből következik, hogy \(\displaystyle CX=OC+OX=OC+\frac13OF=\frac43r\).

A kerületi és középponti szögek tételéből

\(\displaystyle FOB\measuredangle = 2\cdot FCB\measuredangle = ACB\measuredangle, \)

\(\displaystyle BXC\measuredangle = BHC\measuredangle, \)

továbbá

\(\displaystyle BFC\measuredangle = BAC\measuredangle.\)

Az egyenlő szögekből látjuk, hogy \(\displaystyle BCH\triangle\sim BOX\triangle\) és \(\displaystyle ABC\triangle\sim FBO\triangle\). Ezért

\(\displaystyle \frac{OX}{OF} = \frac{OX}{OB} \cdot \frac{OB}{OF} = \frac{CH}{CB} \cdot \frac{CB}{CA} = \frac{CH}{CA} = \frac13, \)

és éppen ezt akartuk igazolni.

Megjegyzés. Annak, hogy \(\displaystyle H\) éppen harmadolja a \(\displaystyle CA\) szakaszt, a megoldás menete szempontjából nincs jelentősége; más \(\displaystyle CH:CA\) arányok esetén is ugyanez a számolás működik, csak a kapott \(\displaystyle CX:r\) arány lesz más.

Statisztika:

63 dolgozat érkezett.
4 pontot kapott:	57 versenyző.
3 pontot kapott:	3 versenyző.
2 pontot kapott:	2 versenyző.
1 pontot kapott:	1 versenyző.

A KöMaL 2020. februári matematika feladatai