A B. 5085. feladat (2020. február)

B. 5085. Mutassuk meg, hogy a szabályos hétszöget fel lehet darabolni véges sok, egymáshoz hasonló szimmetrikus trapézra.

Javasolta: Laczkovich Miklós (Budapest)

(6 pont)

A beküldési határidő 2020. március 10-én LEJÁRT.

Megoldás. A hétszöget olyan trapézokra fogjuk bontani, amelyeknek szögei $\displaystyle 2\cdot\frac{180^\circ}7$ és $\displaystyle 5\cdot\frac{180^\circ}7$ nagyságúak. A trapézok szárának és alapjainak aránya $\displaystyle 1:a:b$ lesz, később meghatározandó $\displaystyle a,b>0$ számokkal, ahol persze $\displaystyle b-a=2\cos\frac{360^\circ}7\approx 1,2469796$ (baloldali ábra).

Egy-egy $\displaystyle b$, $\displaystyle b(b-1)$, illetve $\displaystyle 1+a(b-1)$ szárú trapézból rakjuk ki a jobb oldali ábrán látható $\displaystyle OACDFG$ hatszöget. Mint látható, az $\displaystyle ABHO$ trapéz hosszabbik alapja valóban $\displaystyle b\cdot AO=b^2=HG+GO$, a $\displaystyle BCDE$ trapéz hosszabbik alapja pedig $\displaystyle b\cdot BC=b+ab(b-1)=BH+HE$.

Válasszuk az $\displaystyle a,b$ számokat úgy, hogy az is teljesüljön, hogy $\displaystyle AC=GF$, azaz

$\displaystyle ab+\big(1+a(b-1)\big) = b^2(b-1).$

Behelyettesítve $\displaystyle a=(b-2\cos\frac{360^\circ}7)$-t és rendezve,

$\displaystyle b^3-3b^2+\left(4\cos\frac{360^\circ}7+1\right)\cdot b-\left(2\cos\frac{360^\circ}7+1\right) =0,$

vagy az együtthatók közelítő értékeivel

$\displaystyle b^3-3b^2+3,4939592\cdot b-2,2469796 \approx 0.$

Ennek a harmadfokú egyenletnek a legnagyobb valós gyöke $\displaystyle b\approx1.731628$, a hozzá tartozó $\displaystyle a$ érték $\displaystyle a\approx0.484649$.

Ha ezekkel az $\displaystyle a,b$ értékekkel építjük fel az $\displaystyle OACDFG$ hatszöget, és a hatszöget az $\displaystyle O$ pont körül a $\displaystyle \frac{360^\circ}{7}$ többszöröseivel elforgatjuk, a hét elforgatott hatszög kiad egy szabályos hétszöget.

Statisztika:

4 dolgozat érkezett.
4 pontot kapott:	1 versenyző.
1 pontot kapott:	1 versenyző.
0 pontot kapott:	2 versenyző.

A KöMaL 2020. februári matematika feladatai