A B. 5094. feladat (2020. április)

B. 5094. Igazoljuk, hogy ha két derékszögű háromszög területe és kerülete megegyezik, akkor egybevágók.

Kiss Sándor (Nyíregyháza)

(3 pont)

A beküldési határidő 2020. május 11-én LEJÁRT.

Megoldás. Fejezzük ki egy derékszögű háromszög \(\displaystyle c\) átfogóját a háromszög \(\displaystyle t\) területének és \(\displaystyle k\) kerületének segítségével. Legyenek a befogók \(\displaystyle a\) és \(\displaystyle b\). A kerület ismeretében

\(\displaystyle a+b=k-c.\)

Emeljük mindkét oldalt négyzetre és használjuk fel, hogy a Pitagorasz-tétel alapján \(\displaystyle a^2+b^2=c^2\), továbbá \(\displaystyle 2ab=4t\).

\(\displaystyle a^2+b^2+2ab=k^2-2kc+c^2,\)

\(\displaystyle 4t=k^2-2kc,\)

innen \(\displaystyle c\)-t kifejezve:

\(\displaystyle c=\frac{k^2-4t}{2k}.\)

Tehát a kerület és a terület egyértelműen meghatározza a derékszögű háromszög átfogóját. A két háromszög átfogója ugyanakkora.

Tekintsük most a befogók összegét és szorzatát. Az összeg a két háromszög esetén a kerületek és az átfogók egyenlősége miatt megegyező, a szorzat szintén, mert a terület kétszerese. A két befogó hossza Viete-formulái miatt egy olyan másodfokú egyenlet két gyöke, amelyben a gyökök összege \(\displaystyle k-c\), a gyökök szorzata \(\displaystyle 2t\). Az egyenlet gyökei, vagyis a befogók innen egyértelműen adódnak, tehát a két háromszögnek ugyanakkorák az oldalai, egybevágók.

Statisztika:

84 dolgozat érkezett.
3 pontot kapott:	64 versenyző.
2 pontot kapott:	13 versenyző.
1 pontot kapott:	5 versenyző.
0 pontot kapott:	2 versenyző.

A KöMaL 2020. áprilisi matematika feladatai