A B. 5095. feladat (2020. április)

B. 5095. Legyenek \(\displaystyle a\), \(\displaystyle b\), \(\displaystyle c\) nullától különböző egész számok. Bizonyítsuk be, hogy ha az \(\displaystyle \frac{ab}{c}\), \(\displaystyle \frac{bc}{a}\) és \(\displaystyle \frac{ca}{b}\) számok összege egész, akkor külön-külön is egészek.

George Stoica (Saint John, Kanada)

(3 pont)

A beküldési határidő 2020. május 11-én LEJÁRT.

Megoldás. Megmutatjuk, hogy \(\displaystyle \frac{ab}{c}\) egész; az \(\displaystyle a,b,c\) közötti logikai szimmetria alapján ugyanígy a másik két törtről is igazolható, hogy egész.

Ahhoz, hogy \(\displaystyle \frac{ab}{c}\) egész legyen (a számelmélet alaptétele alapján) pontosan annak kell teljesülnie, hogy bármely \(\displaystyle p\) prímszám legalább akkora kitevővel szerepel \(\displaystyle ab\) prímtényezős felbontásában, mint \(\displaystyle c\)-ében. Indirekten tegyük fel, hogy \(\displaystyle \frac{ab}{c}\) nem egész, ekkor \(\displaystyle c\) valamelyik \(\displaystyle p\) prímosztója nagyobb kitevővel szerepel \(\displaystyle c\) prímtényezős felbontásában, mint \(\displaystyle ab\)-ében.

Jelölje rendre \(\displaystyle \alpha,\beta,\gamma\) azt, hogy \(\displaystyle p\) milyen kitevővel szerepel \(\displaystyle a,b,c\) prímtényezős felbontásában, ekkor a korábbiak alapján – indirekt feltevésünk szerint – \(\displaystyle \alpha+\beta<\gamma\).

Tudjuk, hogy

\(\displaystyle \frac{ab}{c}+\frac{bc}{a}+\frac{ca}{b}=\frac{a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2}{abc}\)

egész, így speciálisan, \(\displaystyle p\) kitevője \(\displaystyle abc\) prímtényezős felbontásában legfeljebb akkora, mint a számlálóében. Világos, hogy az \(\displaystyle abc\) szorzatban \(\displaystyle p\) kitevője \(\displaystyle \alpha+\beta+\gamma\). Mivel \(\displaystyle b^2c^2+c^2a^2=c^2(a^2+b^2)\) osztható \(\displaystyle p^{2\gamma+2\min(\alpha,\beta)}\)-val, viszont \(\displaystyle a^2b^2\)-ben \(\displaystyle p\) kitevője csak \(\displaystyle {2\alpha+2\beta}\) (ez \(\displaystyle {2\gamma+2\min(\alpha,\beta)}\)-nál kisebb érték, hiszen \(\displaystyle \alpha+\beta<\gamma\)), ezért a számlálóban \(\displaystyle p\) kitevője \(\displaystyle 2\alpha+2\beta\). Vagyis ha a tört egész, akkor \(\displaystyle 2\alpha+2\beta\geq \alpha+\beta+\gamma\), vagyis \(\displaystyle \alpha+\beta\geq \gamma\), ez viszont ellentmondás.

Ez az ellentmondás mutatja, hogy valójában \(\displaystyle \frac{ab}{c}\) egész, és ehhez hasonlóan \(\displaystyle \frac{bc}{a}\) és \(\displaystyle \frac{ca}{b}\) is egészek.

Statisztika:

52 dolgozat érkezett.
3 pontot kapott:	Arató Zita, Argay Zsolt, Baski Bence, Csizmadia Miklós, Csonka Illés, Feczkó Nóra, Fleiner Zsigmond, Fülöp Csilla, Füredi Erik Benjámin, Gábriel Tamás, Geretovszky Anna, Hámori Janka, Hervay Bence, Jánosik Áron, Jánosik Máté, Kercsó-Molnár Anita, Kerekes Boldizsár, Kovács 129 Tamás, Lovas Márton, Mácsai Dániel, Móra Márton Barnabás, Nádor Benedek, Nagy 551 Levente, Szabó 991 Kornél, Szakács Ábel, Sztranyák Gabriella, Terjék András József, Tiderenczl Dániel, Vakaris Klyvis, Varga Boldizsár, Velich Nóra, Wiener Anna.
2 pontot kapott:	Mohay Lili Veronika, Seres-Szabó Márton, Zempléni Lilla.
1 pontot kapott:	12 versenyző.
0 pontot kapott:	5 versenyző.

A KöMaL 2020. áprilisi matematika feladatai