 |
A B. 5101. feladat (2020. április) |
B. 5101. Adott egy ABCDO négyoldalú gúla, és az ABCD alaplap belsejében egy P pont. Egy O-ra nem illeszkedő sík az OA, OB, OC, OD és OP egyeneseket rendre az A′, B′, C′, D′, illetve P′ pontokban metszi. Igazoljuk, hogy
tPAB⋅tPCDtPBC⋅tPDA=tP′A′B′⋅tP′C′D′tP′B′C′⋅tP′D′A′.
(tXYZ az XYZ háromszög területét jelöli.)
(6 pont)
A beküldési határidő 2020. május 11-én LEJÁRT.
Megoldás. A területek aránya helyett térfogatok arányával fogunk számolni.
Tetszőleges X,Y,Z,W pontok esetén jelölje vXYZW az XYZW tetraéder térfogatát. Legyen a gúla magassága, vagyis az O pont távolsága az ABCD síktól m, az A′BC′D′ síktól pedig m′, továbbá legyen a, b, c, d és p az az öt valós szám, amelyre →OA′=a⋅→OA, →OB′=b⋅→OB, →OC′=c⋅→OC, →OD′=d⋅→OD, illetve →OP′=p⋅→OP. (A pontok és két sík elhelyezkedésétől függően az a,b,c,d,p számok pozitívak és negatívak is lehetnek.)
Írjuk fel az OPAB tetraéder térfogatát kétféleképpen, a PAB lap területével és az →OP, →OA, →OB élvektorok vegyes szorzatával:
vOPAB=13⋅tPAB⋅m=16|→OP⋅(→OA×→OB)|.Hasonlóan írhatjuk fel az OP′A′B′ tetraéder térfogatát kétféleképpen:
vOP′A′B′=13⋅tP′A′B′⋅m′=16|→OP′⋅(→OA′×→OB′)|==16|(p⋅→OP)⋅((a⋅→OA)×(b⋅→OB))|=|pab|6|→OP⋅(→OA×→OB)|==|pab|⋅vOPAB.Az (1) és (2) összehasonlításából látjuk, hogy
tP′A′B′tPAB=3vOP′A′B′/m′3vOPAB/m=3|pab|⋅vOPAB/m′3vOPAB/m=|pab|⋅mm′.
Hasonlóan kaphatjuk, hogy
tP′B′C′tPBC=|pbc|⋅mm′,tP′C′D′tPCD=|pcd|⋅mm′,éstP′D′A′tPDA=|pda|⋅mm′.
Ezeket figyelembe véve, a bizonyítandó állítás két oldalának hányadosa:
baloldaljobboldal=tPAB⋅tPCDtPBC⋅tPDAtP′A′B′⋅tP′C′D′tP′B′C′⋅tP′D′A′=tPABtP′A′B′⋅tPCDtP′C′D′⋅tP′B′C′tPBC⋅tP′D′A′tPDA==m′|pab|⋅m⋅m′|pcd|⋅m⋅|pbc|⋅mm′⋅|pda|⋅mm′=1.Statisztika:
12 dolgozat érkezett. 6 pontot kapott: Balogh Ádám Péter, Bán-Szabó Áron, Beke Csongor, Fleiner Zsigmond, Füredi Erik Benjámin, Kovács 129 Tamás, Seres-Szabó Márton, Szabó 991 Kornél, Sztranyák Gabriella, Tiderenczl Dániel. 5 pontot kapott: Velich Nóra. 1 pontot kapott: 1 versenyző.
A KöMaL 2020. áprilisi matematika feladatai
|
|